■地図の接続と関数の接続(その17)

  ζ(−1)=1+2+3+4+・・・=−1/12

は量子力学の真空エネルギー(カシミール力)の計算に使われています.

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【1】証明

  Σexp(−nx)=1/(1−exp(−x))

微分すると

  Σnexp(−nx)=exp(−x)/(1−exp(−x))^2

=1/(exp(x/2)−exp(−x/2))^2

 また,x=0の周囲でローラン展開すると

  Σnexp(−nx)=1/x^2−1/12+x^2/240+・・・

定数項をとると

  ζ(−1)=1+2+3+4+・・・=−1/12

 なお,もう一度微分して

  Σn^2exp(−nx)

=(exp(x/2)−exp(−x/2))(exp(x/2)+exp(−x/2))/(exp(x/2)−exp(−x/2))^4

=(exp(x/2)+exp(−x/2))/(exp(x/2)−exp(−x/2))^3

に対して,ローラン展開し,定数項をとると

  ζ(−2)=1^2+2^2+3^2+4^2+・・・=0

を与えます.

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