ζ（－１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝－１／１２

は量子力学の真空エネルギー（カシミール力）の計算に使われています．

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【１】証明

　　Σｅｘｐ（－ｎｘ）＝１／（１－ｅｘｐ（－ｘ））

微分すると

　　Σｎｅｘｐ（－ｎｘ）＝ｅｘｐ（－ｘ）／（１－ｅｘｐ（－ｘ））^2

＝１／（ｅｘｐ（ｘ／２）－ｅｘｐ（－ｘ／２））^2

　また，ｘ＝０の周囲でローラン展開すると

　　Σｎｅｘｐ（－ｎｘ）＝１／ｘ^2－１／１２＋ｘ^2／２４０＋・・・

定数項をとると

　　ζ（－１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝－１／１２

　なお，もう一度微分して

　　Σｎ^2ｅｘｐ（－ｎｘ）

＝（ｅｘｐ（ｘ／２）－ｅｘｐ（－ｘ／２））（ｅｘｐ（ｘ／２）＋ｅｘｐ（－ｘ／２））／（ｅｘｐ（ｘ／２）－ｅｘｐ（－ｘ／２））^4

＝（ｅｘｐ（ｘ／２）＋ｅｘｐ（－ｘ／２））／（ｅｘｐ（ｘ／２）－ｅｘｐ（－ｘ／２））^3

に対して，ローラン展開し，定数項をとると

　　ζ（－２）＝１^2＋２^2＋３^2＋４^2＋・・・＝０

を与えます．

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