ζ（ｓ）の零点がｓ＝１／２＋ｔｉの線上にあるというのが有名なリーマン予想ですが，この予想は２つの点で注意が必要です．

［１］解析接続したあとの関数に対する予想であること

［２］ｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎという例外零点があること

ζ（０）＝１＋１＋１＋１＋・・・＝−１／２

ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

ζ（−２）＝１2＋２2＋３2＋４2＋・・・＝０

ζ（−３）＝１3＋２3＋３3＋４3＋・・・＝１／１２０

ζ（−４）＝１4＋２4＋３4＋４4＋・・・＝０

らは解析接続したあとの関数に対する結果なのです．

　リーマン自身は解析接続法を２つ示しました．解析接続法ごとに得手・不得手はありますが，解析接続の一意性により，どんな解析接続法でも同じ結果が得られるはずです．ここでは積分を使わない方法を紹介します．

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【１】二項展開

　　（ｎ，ｋ）＝ｎ（ｎ−１）・・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

において，ｎ＝−１とおくと，

　　（−１，ｋ）＝（−１）^k

　　（１＋ｘ）^-1＝１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋ｘ^4−・・・

　ｎ＝２とおくと

　　（−２，ｋ）＝（−１）^k（ｋ＋１）

　　（１＋ｘ）^-2＝１−２ｘ＋３ｘ^2−４ｘ^3＋５ｘ^4−・・・

形式的にｘ＝１とすると

　　１／４＝１−２＋３−４＋５−・・・

＝（１＋２＋３＋４＋５＋・・・）−２（２＋４＋６＋・・・）

＝（１＋２＋３＋４＋５＋・・・）−４（１＋２＋３＋・・・）

＝−３（１＋２＋３＋４＋５＋・・・）

　　１＋２＋３＋４＋５＋・・・＝−１／１２

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【２】二項展開を用いた解析接続

　　ζ(s)＝Σ１／ｎ^s＝１＋２^-s＋３^ｰs＋４^-s＋・・・

＝１＋２^-s＋Σｎ^ｰs　　（ｎ＝３〜）

＝１＋２^-s＋Σ（ｎ＋１）^ｰs　　（ｎ＝２〜）

＝１＋２^-s＋Σｎ^-s（１＋１／ｎ）^ｰs　　（ｎ＝２〜）

　ここで，０＜１／ｎ≦１／２となるので，二項展開が使えて

＝１＋２^-s＋Σｎ^-s（（−ｓ，ｋ）ｎ^ｰk）

＝１＋２^-s＋Σ（−ｓ，ｋ）ｎ^-sｰk

＝１＋２^-s＋Σ（−ｓ，ｋ）（ζ(s+k)−１）

　したがって，

ζ(s)＝１＋２^-s＋（ζ(s)−１）−ｓ（ζ(s+1)−１）＋ｓ（ｓ＋１）／２（ζ(s+2)−１）−ｓ（ｓ＋１）（ｓ＋２）／６（ζ(s+3)−１）＋・・・

ｓ（ζ(s+1)−１）＝ｓ（ｓ＋１）／２（ζ(s+2)−１）−ｓ（ｓ＋１）（ｓ＋２）／６（ζ(s+3)−１）＋ｓ（ｓ＋１）（ｓ＋２）（ｓ＋３）／２４（ζ(s+4)−１）−・・・

ｓをｓ−１に置き換えて

（ｓ−１）（ζ(s)−１）＝（ｓ−１）ｓ／２（ζ(s+1)−１）−（ｓ−１）ｓ（ｓ＋１）／６（ζ(s+2)−１）＋（ｓ−１）ｓ（ｓ＋１）（ｓ＋２）／２４（ζ(s+3)−１）−・・・

　これがζ(s)を与える関係式で，Ｒｅ（ｓ）＞０までの解析接続を与えます．これを漸化式のように用いると

ζ（０）＝１＋２／（−１）＋１／２・１＋０＋０＋・・・＝−１／２

ζ（−１）＝１＋２^2／（−２）＋（−１）／２（ζ（０）−１）−（−１）／６＋０＋０＋・・・＝−１／１２

ζ（−２）＝１＋２^3／（−３）＋（−２）／２（ζ（−１）−１）−（−２）／６（ζ（０）−１）＋（−２）（−１）／２４・１＋０＋０＋・・・＝０

というように求められます．

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