【１】地図の接続

　「接続」云々は，地図のことを考えてみるとよい．地球は球面であるが，地図は平面で表現される．五万分の１の地図と，同じ区域の二万五千分の１四枚を考察する．それぞれは曲面を平面に変換した地図であり，共有する領域には，ある種の変換式がなければならない．この変換式が成り立つことが多様体の条件である．

古典的な微分幾何学と多様体の微分幾何学の相違について、ジェットコースターを考察してみよう．ジェットコースターを外から見て，三次元空間内の曲線と見なすのが古典的な微分幾何学である．一方，ジェットコースターに乗ってこの曲線を解析するのが，多様体論である．その際，ジェットコースターに乗ったときの，重力や恐怖の数式化が曲率などのテンソルとなる．

　多様体論のいろいろな概念は，曲線論と曲面論の拡張である．いずれにせよ，「多様体」，「測地線」，「曲率」などという専門用語は不可避なので，二次元，三次元での具体的なイメージをもった方がよい．従って，本格的な教科書よりも，具体的なものから多様体論にすすむような本の方がよいであろう．挿し絵が豊富で，目で見ながら曲線や曲面を学ぶことができるビジュアル系の本も，曲線や曲面を楽しむための選択肢のひとつと思われる．

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【２】関数の接続

解析接続とは，たとえば実軸上の三角関数ｃｏｓｘを正則関数

　　ｃｏｓｚ＝１−１／６ｚ^2＋１／１２０ｚ^4−・・・

に解析接続し，虚軸に制限すると

　　ｃｏｓ（ｉｙ）＝１＋１／６ｙ^2＋１／１２０ｙ^4＋・・・＝ｃｏｓｈ（ｙ）

という双曲関数が得られます．

　同様に，実軸上の単項式ｘ^nを単項式ｚ^nに解析接続し，それを単位円周上に制限すると

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓ（ｎθ）＋ｉｓｉｎ（ｎθ）

という関数（ド・モアブルの公式）を得ることができます．オイラーの公式

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

を用いれば

　　ｅｘｐ（ｉｎθ）＝ｃｏｓ（ｎθ）＋ｉｓｉｎ（ｎθ）

　このように実解析関数の変数を複素数に拡張することにより未知の世界が開けてきます．ところが，関数論（複素解析）を深くも浅くも学んだ経験のない小生にとってなかなか理解できない概念の１つがリーマン・ゼータ関数の解析接続です．

　ゼータ関数は無限級数

ζ(x)=Σ1/n^x＝1/1^x+1/2^x+1/3^x+1/4^x+･･･

として定義される関数です．すなわち，ゼータ関数は調和級数を一般化したものと考えることができます．ｘ＞１ならばゼータ関数は収束します．しかし変数を実数に限定している限り，ｘ＝１で∞となってしまいそれより左側に進むことができなくなります．

　ゼータ関数を複素数へ拡張する必要があるのです．ｓｉｎｘはｘが実数のときは−１から１までの値をとりますが，複素数のときは違います．ゼータ関数も同様です．ところが，オイラーが使っていた神秘的な等式

　　１＋２＋３＋４＋５＋・・・＝−１／１２

　　１^2＋２^2＋３^2＋４^2＋５^2＋・・・＝０

　　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋５^3＋・・・＝１／１２０

　　１^4＋２^4＋３^4＋４^4＋５^4＋・・・＝０

では正数の無限級数の総和ですから無限大のはずですが負や零になっていて，一見して目がくらんでしまいます．

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)

はRe(s)＜１では意味をなさなくなるというわけですが，一体，リーマン・ゼータ関数の解析接続はどうなっているのでしょうか？

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