【４】佐藤・テイト予想の解決

　角分布がsin^2θに比例するという佐藤予想の最初の記述は，資料によると，昭和３８年（１９６３年）のことなのですが，ｓｉｎ^2予想でｔ＝ｃｏｓθとおけば，

　　偏角が［ａ，ｂ］となる素数密度　〜　2/π∫(α,β)√(1-t^2)dt

となりますから，これも１種の半円則となっていることがわかります．

　佐藤・テイト予想には，多くの言い換えがあって，

(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０

の解を

　　ｘ＝√ｐｅｘｐ（ｉθ）＝√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）

とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する

(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する

(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である

といっても同じことです．

　佐藤予想は現在も未解決で，リーマン予想に匹敵する予想であるといわれています．ところが，驚いたことに２００６年になって，ハーバード大学のリチャード・テイラーによって佐藤予想の楕円曲線版（佐藤・テイト予想と呼ばれる）が証明されました．佐藤予想そのものの証明ではないにせよ，１００年に一度の大発展といえるのです．

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