slender modelはもっとも計算が簡単なモデルであると思われるが、すべて内半径rによって決定されるといってよい。

シェーンベルグの用いた円を直線に変える

rをシェーンベルグモデルと等しくしてみたい

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θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

Rsinθ=2{cos(θ/2)}^2

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(x-1)^2+(y-R)^2=R^2とy=tanθ・xの交点が(rcosθ,rsinθ)であるから

ｒはr^2cosθ^2-2rcosθ+1+r^2sinθ^2-2Rrsinθ+R^2=R^2の解

r^2-2r(cosθ+Rsinθ)+1=0

r=cosθ+Rsinθ-{(cosθ+Rsinθ)^2-1}^1/2

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

y=(rsin2θ-rsinθ/(-rcos2θ-rcosθ)・(x-rcosθ)+rsinθ

(rcosθ、-rsinθ)と(1,0)を結ぶ直線

y=(rsinθ)/(1-rcosθ)(x-rcosθ)-rsinθ

の交点を求める

(rsin2θ-rsinθ)/(-rcos2θ-rcosθ)・(x-rcosθ)-(rsinθ)/(1-rcosθ)・(x-rcosθ)=-2rsinθ

{(rsin2θ-rsinθ)(1-rcosθ)-(rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)}・(x-rcosθ)=-2rsinθ(-rcos2θ-rcosθ)(1-rcosθ)

ここで、n=3の場合も計算できることになる。

{(2cosθ-1)(1-rcosθ)+r(cos2θ+cosθ)}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

{2cosθ-1-2r(cosθ)^2+rcosθ+2r(cosθ)^2-r+rcosθ)}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

{2cosθ-1+2rcosθ-r}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

{2cosθ(1+r)-(1+r)}・(x-rcosθ)=2r(cos2θ+cosθ)(1-rcosθ)

(2cosθ-1)(1+r)・(x-rcosθ)=2r(cosθ+1)(2cosθ-1)(1-rcosθ)

(1+r)・(x-rcosθ)=2r(cosθ+1)(1-rcosθ)

x-rcosθ=2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)

y+rsinθ=(rsinθ)/(1-rcosθ)・(x-rcosθ)＝2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)の中点((rcosθ-rcos2θ)/2,((rsinθ+rsin2θ)/2)

からの距離の2乗は

L^2＝{2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)+rcosθ-(rcosθ-rcos2θ)/2}^2+{2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)-rsinθ-((rsinθ+rsin2θ)/2}^2

{2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)+r(cosθ+cos2θ)/2}^2+{2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)-r(3sinθ+sin2θ)/2}^2

{2r(cosθ+1)(1-rcosθ)/(1+r)+r(cosθ+1)(2cosθ-1))/2}^2+{2r(cosθ+1)(rsinθ)/(1+r)-rsinθ(3+2cosθ)/2}^2

={r(cosθ+1)}^2{4(1-rcosθ)/2(1+r)+(1+r)(2cosθ-1))/2(1+r)}^2+(rsinθ)^2{2r(cosθ+1)/(1+r)-(3+2cosθ)/2}^2

={r(cosθ+1)}^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2+(rsinθ)^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2

=r^2(2cosθ+2){(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2

=r^2(2cos(θ/2))^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/2(1+r)}^2

=(rcos(θ/2))^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/(1+r)}^2

=(rcos(θ/2))^2{(2cosθ(1-r)+3-r)/(1+r)}^2

(rcos(θ/2))^2{(2cos(θ/2))^2(1-r)+(1+r))/(1+r)}^2

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2Lと1+rの比較が問題となる

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n=3: 0.433013

n=5: 0.40615

n=7: 0.399427

n=9: 0.396737

n=11: 0.395391

n=13: 0.394623

n=101: 0.392746

シェーンベルグモデルではr→3-2√2＞1/6であるから、いずれもπ/8を下回らないのは予想された通りであった。

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