■ミツウロコの問題(その10)
長方形は1本の垂直線と1本の水平線によって9個の長方形に細分される。
4つの長方形+隣接した長方形を結合して得られる4つの長方形+一番外側の長方形
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長方形は2本の垂直線と2本の水平線によって36個の長方形に細分される。
長方形は4本の垂直線と4本の水平線によって225個の長方形に細分される。
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nxnの正方形の場合から始めてみたい。
1x1の正方形はn^2
2x2の正方形は(n-1)^2
3x3の正方形は(n-2)^2
nxnの正方形は1^2
したがってn(n+1)(2n+1)/6
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長方形の場合は
1x2の長方形はn(n-1)
1x3の長方形はn(n-2)
・・・・・・・・・・・・
1xnの長方形はn・1
2x1の長方形はn(n-1)
3x1の長方形はn(n-2)
・・・・・・・・・・・・
nx1の長方形はn・1
2n(n-1)n/2=n^2(n-1)
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2x3の長方形は(n-1)(n-2)
・・・・・・・・・・・・
2xnの長方形は(n-1)・1
2(n-1)(n-2)(n-1)/2=(n-1)^2(n-2)
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3x4の長方形は(n-2)(n-3)
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3xnの長方形は(n-2)・1
2(n-2)(n-3)(n-2)/2=(n-2)^2(n-3)
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(n-1)xnの長方形は2・1
nx(n-1)の長方形は1・2
2^2・1
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j=[2,n]
Σj^2(j-1)=Σj^3-Σj^2={n(n+1)n/2}^2-n(n+1)(2n+1)/6
正方形との和は={n(n+1)/2}^2
n=2のとき9・・・OK
n=3のとき36・・・OK
n=4のとき100
n=5のとき225・・・OK
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