【１】ランドリーとフェルマー素数

　１８８０年，ランドリーは（８２才という高齢にもかかわらず）

　　Ｆ6＝２７４１７７×６７２８０４２１３１０７２１

となることを示しました．

　オイラーの場合と同様に，ｋに１〜２０まで入れると

　　　　ｋ　　　１＋ｋ・２^7　　　素数

　　　　１　　　　　１２９　　　　×

　　　　２　　　　　２５７　　　　○

　　　　３　　　　　３８５　　　　×

　　　　４　　　　　５１３　　　　×

　　　　５　　　　　６４１　　　　○

　　　　６　　　　　７６９　　　　○

　　　　７　　　　　８９７　　　　×

　　　　８　　　　１０２５　　　　×

　　　　９　　　　１１５３　　　　○

　　　１０　　　　１２８１　　　　×

　　　１１　　　　１４０９　　　　○

　　　１２　　　　１５３７　　　　×

　　　１３　　　　１６６５　　　　×

　　　１４　　　　１７９３　　　　×

　　　１５　　　　１９２１　　　　×

　　　１６　　　　２０４９　　　　×

　　　１７　　　　２１７７　　　　×

　　　１８　　　　２３０５　　　　×

　　　１９　　　　２４３３　　　　×

　　　２０　　　　２５６１　　　　×

となります．

　素数の割合は次第に小さくなりますが，

　　２７４１７７＝２１４２・２^7＋１　　　（ｋ＝２１４２）

までこのような作業を続けることは容易ではありませんし，素因数２７４１７７が決して直観でわかるものではないことも理解されます．

　逆に

　　ｐ｜６７２８０４２１３１０７２１　→　ｐ｜Ｆ6　→　ｐ＝１（ｍｏｄ１２８）

より，ｐ＝１（ｍｏｄ１２８）なる素数で，√６７２８０４２１３１０７２１より小さいものが，どれも６７２８０４２１３１０７２１を割らないことをみてもよいのでしょうが，このような戦略をとったところで意味のないものになってしまうのがオチでしょう．

　ランドリーがオイラーの1732年にやった方法を踏襲したとはとても思えないのですが，どうやってやったのかまったく予想がつきません．それで，ランドリーがとった戦略がいかなるものか調べてみたのですが，1880年に素因数が判明と記載されているだけで方法までは載っておらず，結局，わからずじまいでした．これについてご存知の方はぜひ教えて下さい．

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　１９７５年にはブリルハートとモリソンがフェルマー数

　　Ｆ7＝５９６４９５８９１２７４９７２１７×５７０４６８９２００６８５１２９０５４７２１，

１９８１年に，ブレントとポラードが

　　Ｆ8＝１２３８９２６３６１５５２８９７×９３４６１６３９７１５３５７９７７７６９１６３５５８１９９６０６８９６５８４０５１２３７５４１６３８１８８５８０２８０３２１

を分解してみせました．

　Ｆ19までのフェルマー数の素因数を以下に掲げておきますが，おそらくこれらは力任せのコンピュータ計算ではなく，冒頭の部分は数学的な考察が必要であり，最後の部分にある程度のコンピュータ計算を利用して得られたものに違いないでしょう．

　　Ｆ5：６４１

　　Ｆ6：２７４１７７

　　Ｆ7：５９６４９５８９１２７４９７２１７

　　Ｆ8：１２３８９２６３６１５５２８９７

　　Ｆ9：２４２４８３３

　　Ｆ10：４５５９２５７７

　　Ｆ11：３１９４８６

　　Ｆ12：１１４６８９

　　Ｆ13：２７１０９５４６３９３６１

　　Ｆ15：１２１４２５１００９

　　Ｆ16：８２５７５３６０１

　　Ｆ17：３１０６５０３７６０２８１７

　　Ｆ18：１３６３１４８９

　　Ｆ19：７０５２５１２４５０９

　もちろんこういう分解が発見される以前でもＦ9，Ｆ10，Ｆ11，・・・，Ｆ32が合成数であることは知られていました．現在，合成数かどうかが分からない最小のフェルマー数はＦ33ということです．

　いまのところ，フェルマー数

　　Ｆn＝２^(2^n)＋１

では，ｎ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．フェルマー数（２^(2^n)＋１）に対してはメルセンヌ数におけるリュカテストと同じくらい能率的なペパンの素数判定法

　　Ｆnが素数　←→　３^{(Fn-1)/2}＝−１（ｍｏｄＦn）

があり，コンピュータを使って６番目のフェルマー素数の探索が続けられているのですが，はたして本当に存在するのでしょうか．

　Ｆnのなかに素数が無限にあるか，または，合成数が無限にあるかということについては何もわかっていないのです．なお，リュカやペパンの素数判定法によってある数が合成数とわかってもそれを素因数分解するのはとても大変な作業になります．現在，巨大な整数の素因数分解に楕円曲線法とか平方ふるい法とか能率のよい素因数分解法が考え出されています．

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