高校数学では，分数式の計算

　　Ｆ＝１／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋１／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）＋１／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）

とか

　　Ｆ＝ａ^2／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋ｂ^2／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）＋ｃ^2／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）

を簡単にせよという演習問題に出会ったことがあるはずである．

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　　Ｆ＝｛ａ^k（ｂ−ｃ）＋ｂ^k（ｃ−ａ）＋ｃ^k（ａ−ｂ）｝／（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

として，分子をＦkとおくと

　　Ｆ0＝（ｂ−ｃ）＋（ｃ−ａ）＋（ａ−ｂ）＝０

　　Ｆ1＝ａ（ｂ−ｃ）＋ｂ（ｃ−ａ）＋ｃ（ａ−ｂ）＝０

　　Ｆ2＝ａ^2（ｃ−ｂ）＋ｂ^2（ａ−ｃ）＋ｃ^2（ｂ−ａ）＝−（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

　　Ｆ3＝ａ^3（ｂ−ｃ）＋ｂ^3（ｃ−ａ）＋ｃ^3（ａ−ｂ）＝−（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）

よって，ｋ＝０，１，２，３の場合，順に

　　Ｆ＝０，０，−１，−（ａ＋ｂ＋ｃ）

となる．

　Ｆkは交代式で，交代式は差積と対称式Ａの積で表されるという性質があるから

　　Ｆk＝Ａ（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

ここで，分母（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）は３次交代式，分子Ｆkはｋ＋１次交代式であるから，Ｆはｋ−２次対称式となる．このことからｋ＝０，１のときＦ＝０，ｋ＝２のときＦは定数となることがわかる．

ｋ＝２の場合，Ｆ＝−１

ｋ＝３の場合，Ｆ＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）

ｋ＝４の場合，Ｆ＝−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

ｋ＝５の場合，Ｆ＝−（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ａｂｃ）

また，対称式の基本定理より，ｎ変数のどんな対称式も基本対称式を用いて表すことができる．３変数の場合の基本対称式

　　σ1＝ａ＋ｂ＋ｃ

　　σ2＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ

　　σ3＝ａｂｃ

を用いて対称式Ｐを表してみることにしよう．

ｋ＝３の場合，Ｆ＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）＝−σ1

ｋ＝４の場合，Ｆ＝−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＝−σ1^2＋σ2

ｋ＝５の場合，Ｆ＝−（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ａｂｃ）＝−σ1^3＋２σ1σ2−σ3

しかし，対称式の基本定理など代数学の知識を駆使してもあまり面白い結果になりそうもない．

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