口の字には四角形が１個ありますが，田の字には小さい四角形が４個と大きい四角形が１個で，合計５個の四角形があります．さらに，囲の字には小さい四角形が９個，中位の四角形が４個，大きい四角形が１個で，合計１４個の四角形があります．

　次数　１　　２　　　　３　　　　４　　　　　　５

　　　　□　　□□　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　□□　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　□□□　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□　　□□□□□

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□□□□□

　さらに次数を増やすと，四角形の合計は

　　１→５→１４→３０→５５→・・・

と増えていくのですが，この数列が

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝１／６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）

で表されることは容易に理解されるでしょう．

　ところで，息子（当時，小学１年生）の宿題に，ミツウロコ文様

　　　△

　　△▽△

が描かれていて，すべての三角形（下向きの三角形も含む）を数えると何個あるかという問題をみつけました．息子はミツウロコのことをトライフォースと呼んでおりました．４つの三角形という意味だと思われますが，多分，アニメ（漫画？）ではそう呼ばれていたのでしょう．ちなみに，息子の答えは，大きな三角形を数えもらしていたため，４個となっておりましたが，５個が正解です．

（問）△，▽を三角形状に積み上げて次数ｎのミツウロコ文様を作る．三角形はいくつ？

　次数　１　　２　　　　３　　　　　　４　　　　　　　　５

　　　　△　　△　　　　△　　　　　　△　　　　　　　　△

　　　　　　△▽△　　△▽△　　　　△▽△　　　　　　△▽△

　　　　　　　　　　△▽△▽△　　△▽△▽△　　　　△▽△▽△

　　　　　　　　　　　　　　　　△▽△▽△▽△　　△▽△▽△▽△

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△▽△▽△▽△▽△

　求める数は

　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→・・・

と増えていきますが，一般項はどのように表されるのでしょうか？　口，田，囲の場合と同じように考えようとすると，なかなか一筋縄ではいかない問題であることがわかります．

　階差をとるとその理由が見えてくるのですが，

　　　　　　１→５→１３→２７→４８→７８→１１８→・・・

　第１階差　　４→８　→１４→２１→３０→４０→・・・

　第２階差　　　４　→６　→７　→９　→１０→・・・

　第３階差　　　　　２　→１　→２　→１　→・・・

　第３階差では２と１が交互に繰り返しているので，この数列は１つの多項式で表せず，その答えも交互に２つの式で表されることになります．

（答）

　　ｎが偶数のとき，１／８ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）

　　ｎが奇数のとき，１／８｛ｎ（ｎ＋２）（２ｎ＋１）−１｝

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