正５角形の作図ではｙ＝ｘ＋１／ｘとおいて作図可能であることをうまく証明できたが，正１７角形ではこの変数変換では失敗する．

　　ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4

　　ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8

と変数変換すると（もう１ステップ要するが）ｎ＝５の場合と全く同様に証明することができる．

　それでは，正３３角形（３２次円分方程式）は本当に作図不可能なのか？　もちろん，フェルマー素数でないから作図できないのであるが，そういってしまえばそれまでである．やはり「ガウスは天才だった」として済ませたくないのである．一松信先生のコメントを紹介する．

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　拝見しました．円分多項式と正ｎ角形の作図可能性（定規とコンパスによる）について要領よくおまとめになっているのに感心しました．また，正１７角形について具体的な置換

　　ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4

　　ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8

を明示されている明解な解説と思います．

　ご質問は結局ガウスの円分体の理論を「初等的に」説明せよということになるのかもしれません．一般的なｎ＝２^m＋１でなく，そのうちの特別な２^2^k＋１に限る，さらにそのうちの素数のものに限るということは，

　　２^3＋１＝９＝３・３，２^5＋１＝３３＝３・１１

などが素数でないことから推察できます．だからもしも正３３角形が作図できれば正１１角形が作図できることになっておかしいという説明はできます．

　枝葉の話ですが，ｔ＝ｘ＋１／ｘでうまくゆくのは結局ｃｏｓ（π／ｎ），ｓｉｎ（π／ｎ）が二重根号（（１０＋２√５）^1/2など）で表されることに対応します．以下のようにいうとギリシャ数学史の専門家から叱られますが，ユークリッド原論第１０巻は今日の我々の眼からみると二重根号量（（ａ＋√ｂ）^1/2，（ａ−√ｂ）^1/2）の扱いであり，それが（特に（１０±２√５）^1/2が）第１３巻で正十二面体，正二十面体の構成にうまく活用されています．

　正１７角形では３重根号数と４重根号数が必要になります．ある歴史家の話では，これは古代ギリシャの数学者の手に負えなかった話題（？）だろうということです．正５角形が（定規とコンパスで）作図できる，そしてその作図に黄金比と関連した二重根号で表される量が本質的に関わっているという事実の発見が古代ギリシャ数学のひとつの頂上であったように思います．

　多くの解説書にある記述でよくご存じと思いますが，いずれにせよよくおまとめになっていて全く蛇足的なコメントですが，取り急ぎお返事もうします．

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