ｘ^n－１の因数分解が，ｎの約数ｄを使って次のように書かれることを考えます．

　　ｘ－１＝Φ1（ｘ）

　　ｘ^2－１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）

　　ｘ^3－１＝Φ1（ｘ）Φ3（ｘ）

　　ｘ^4－１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ4（ｘ）

　　ｘ^5－１＝Φ1（ｘ）Φ5（ｘ）

　　ｘ^6－１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘ^18－１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ18（ｘ）

　　ｘ^36－１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ4（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ12（ｘ）Φ18（ｘ）Φ36（ｘ）

　すると，円分多項式は

　　Φ1（ｘ）＝ｘ－１

　　Φ2（ｘ）＝ｘ＋１

　　Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１

　　Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ6（ｘ）＝ｘ^2－ｘ＋１

　　Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ－１

　　Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１

　　Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１

　　Φ12（ｘ）＝ｘ^4－ｘ^2＋１

　　Φ15（ｘ）＝ｘ^8－ｘ^7＋ｘ^5－ｘ^4＋ｘ^3－ｘ＋１

　　Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１

　　Φ18（ｘ）＝ｘ^6－ｘ^3＋１

　　Φ24（ｘ）＝ｘ^8－ｘ^4＋１

　　Φ36（ｘ）＝ｘ^12－ｘ^6＋１

と定まります．

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ｘ^n－１を因数分解すると、その係数は０，１，-１しか現れないように思える。しかし、その規則性はn=105で突如崩れ-２が現れる。

円分多項式では、ｎが2つの異なる奇素数を用いて、n=2^a・p^b・q^cと表されるとき、その係数には０，１，-１しか現れないことが知られている。

ｎ＝105＝3・5・7は相異なる3つの奇素数で表されるの最小の整数であるので、係数に-２が現れるのである。

すべての整数ｍに対して、ｘ^n－１を因数分解するした際に、係数ｍが現れるｎが存在することが証明されている。

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