【１】垂足曲線の特異点（円族の包絡線）

　曲線の各点における接線に対して，定点から下ろした垂線の足の軌跡を垂足曲線といいます．

　パスカルのリマソン（蝸牛線）は定点Ｏから定円への接線へ下ろした垂線の足の軌跡は極座標では

　　ｒ＝ａ＋ｂｃｏｓθ

と表されます．ここでいうパスカルはブレーズ・パシカルの父，エチエンヌ・パスカルを指します．

　蝸牛線のｘ，ｙに関する方程式は

　　（ｘ^2＋ｙ^2−ａｘ）^2＝ｂ^2（ｘ^2＋ｙ^2）

となる４次曲線ですが，ａ＝ｂの場合はエピサイクロイド（固定した円の円周上を外側から円が滑らずに転がるとき，転円上の固定点の軌跡）の１つである心臓型曲線（カーディオイド）と一致します．

　　ｒ＝ａ＋ａｃｏｓθ

　すなわち，円：ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2の接線へ円周上の点（ａ，０）から下ろした垂線の足の軌跡はカージオイドとなり，円周上にない点を定点とした場合は，蝸牛線になるのです．

　また，直角双曲線の中心に関する垂足曲線はベルヌーイのレムニスケート（連珠形）になります．レムニスケートは，直角双曲線上に中心をもち，双曲線の中心を通る円の包絡線と考えることもできます．

　垂足曲線の特異点はそれぞれの曲線の変曲点（曲率＝０）に対応していることが示されています．そのほかに，垂足曲線には，円族の包絡線であるという共通の性質が知られています．

　レムニスケートが直角双曲線上に中心をもち，双曲線の中心を通る円の包絡線になっていることはすでに述べましたが，カージオイドは円周上に定点Ｐをとり，円周上の任意の点Ｑを中心に半径ＰＱの円を次々にとって描いていくと，それらの円の包絡線として得られます．したがって，カージオイドには，円の包絡線として，周転円の円周上の点の軌跡として，垂足曲線としての３つの作り方があることになります．また，定点を円周上にない点にとったとき，円群の包絡線がリマソンです．

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カージオイドの尖点における反転は放物線である。

カージオイド：r=1+cosθ

放物線：r=1/(1+cosθ)

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＜ニコメデスのコンコイド＞

定点Ｏと定直線ｇが与えられているとき，Ｏを通る任意の直線とｇとの交点をＱとし，この直線上にＱから定距離ｌの点Ｐをとると，この点Ｐの軌跡をコンコイドといいます．

極座標ではｒ＝ａ／ｃｏｓθ＋ｂ

ｘ，ｙ座標で書けば，ｘ＝ａ＋ｂｃｏｓθ，ｙ＝ａｔａｎθ＋ｂｓｉｎθ

θを消去すると，４次曲線：

（ｘ^2＋ｙ^2）（ｙ−ａ）^2＝ｂ^2ｙ^2

（ｘ−ａ）^2（ｘ^2＋ｙ^2）＝ｌ^2ｘ^2

で表されます．なお，直線に関するコンコイドがニコメデスのコンコイドであって，円に関するコンコイドがリマソンであり，カーディオイドはその特殊な場合となっています．

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