２次曲線に続くものとして，３次曲線の数論的な性質の奥深さに触れることにしましょう．

ａ）整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｃは無数の有理数解をもちます．

ｂ）二次曲線ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃのグラフは円錐曲線ですが，この方程式が有理数解を１つもてば，実は無数のもつことを示すことができます．たとえば，方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１には，無限に多くの有理数解，（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します．

　ところが，半径が√３の円，ｘ^2＋ｙ^2＝３になると有理点は全くなってしまいます．このことは，互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れないということからわかります．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．→［補］

ｃ）三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数点が有限個しかありません（ジーゲルの有限性定理：１９２９年）．

ｄ）種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない（モーデル・ファルティングスの定理：１９８３年）．

　２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．

　円錐曲線の有理点は無限です．楕円曲線の有理点はときには無数にあるのですが，有限個の有理点から２倍公式を繰り返し適用することによってすべて見つけることができます（モーデルの有限生成定理，１９２３年）．

　なお，１９７０年，ロシア人のマチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されています．一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３＝０が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．

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［補］互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．さらにまた，別の例を挙げてみましょう．

［補］４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならない．

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

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