（４次曲線）

　２定点（−ａ，０），（ａ，０）からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円，差が一定の点の軌跡は双曲線です．また，商が一定の点は円（アポロニウスの円）を描きます．それでは積が一定の点はどのよう軌跡を描くでしょうか．

（答）はカッシーニ曲線．

　　｛（ｘ＋ａ）^2 ＋ｙ^2 ｝｛（ｘ−ａ）^2 ＋ｙ^2 ｝＝ｃ^2

　　（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 −２ａ^2 （ｘ^2 −ｙ^2 ）＝ｃ^2 −ａ^4

　　ｒ^4 −２ａ^2 ｒ^2 ｃｏｓ２θ＋ａ^4 ＝ｃ^2

　２次の多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０，すなわち楕円，放物線，双曲線が円錐を平面で切断したときの切り口として現れたように，カッシーニ曲線はトーラス（ドーナツ）の平面による切断面として現れることが知られています．

　定数ｃが２定点間の距離の半分ａの２乗に等しいとき，レムニスケート（双葉曲線）と呼ばれます．レムニスケートは８の字形（８を９０°回転させ横向きにした∞形）をしていて，その直交座標系での方程式は４次曲線（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝２ａ^2 （ｘ^2 −ｙ^2 ），極座標系ではｒ^2 ＝２ａ^2 ｃｏｓ２θとなります．とくに，２定点を（−１／√２，０），（１／√２，０）と定めると，レムニスケートの方程式は極座標で書くとｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，直交座標で書くと（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 となります．したがって，極座標による式のほうが，直交座標による式よりかるかに簡単です．

　また，ａ＝１／√２のとき，レムニスケートは，

　　ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

ここで，

　　ｔ＝ｔａｎ（θ／２）

を使うと

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

と表示されますから，

　　ｘ＝ｔ（ｔ^2＋１）／（１＋ｔ^4 ）

　　ｙ＝−ｔ（ｔ^2−１）／（１＋ｔ^4 ）

のようにパラメトライズすることができます．

　レムニスケートには円に共通する性質があり、定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．なお，

　　ｘ^2 ＋ｙ^2 −ｚ^2 ＋（ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2）^2 ＝０

は，レムニスケートをその主軸の回りに回転することによって生成される曲面です．

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