［１］２乗可積分な関数ｆ，ｇに対して，以下の不等式が成立する．

　（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)≧∫ｆｇ

（証明）

　　∫（ｔｆ−ｇ）^2ｄｘ＝ｔ^2∫ｆ^2−２ｔ∫ｆｇ＋∫ｇ^2≧０

　したがって，ｔを変数とする２次式の判別式

　　Ｄ＝（∫ｆｇ）^2−（∫ｆ^2∫ｇ^2）≦０

　等号はｇ＝ｃｆ　　　（ｃ：定数）のとき

［２］Δをｍ次対称行列，行列の固有値をλ1，・・・，λmとする．ｆ，ｇを２乗可積分な関数とすると，

　　｜∫（Δｆ，ｇ）｜＝｜∫（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜λi｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)

　　｜∫（Δｆ，ｇ）｜＝｜∫（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜Δij｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)

（証明）

　正の対称行列は適当な座標の回転（ユニタリ変換）により，対角行列（対角要素以外はすべて０の行列）で表現可能である．このとき，

　　〈ｆ，ｇ〉：＝（Δｆ，ｇ）＝（ｆ，Δｇ）＝ΣΔijｆiｇj

の値は不変であるから，変換後の座標で計算すると

　　｜（Δｆ，ｇ）｜＝｜（ｆ，Δｇ）｜≦Σ｜λi｜｜ｆ｜｜ｇ｜

｜λi｜≦ｍａｘ｜λi｜を適用すると，［１］より

　　∫｜（Δｆ，ｇ）｜＝∫｜（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜λi｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)

が成り立つ．

　また，これにより

　　｜∫（Δｆ，ｇ）｜＝｜∫（ｆ，Δｇ）｜≦ｍａｘ｜Δij｜（∫ｆ^2∫ｇ^2）^(1/2)

は自明である．

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