【３】八平方和問題

　これらの出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　８個の平方の和に分解する仕方の数をｒ8（ｎ），σ3（ｎ）をｎの約数の３乗和とすると，ｎが偶数のとき，

　　ｓ3（ｎ）＝σ3（ｎ）

ｎが奇数のとき，

　　ｓ3（ｎ）＝σ3e（ｎ）−σ3o（ｎ）

　　　 　　　＝ｎの偶数の約数の３乗和−ｎの奇数の約数の３乗和

と書くことにすると，

　　ｒ8（ｎ）＝１６ｓ3（ｎ）

が成り立つ．

（証）θ（τ）＝Σｑ^(n^2)

より

　　θ（τ）^8＝Σｒ8（ｎ）ｑ^n，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ）

　ここで，アイゼンシュタイン級数の類似物

　　Ｅ4（τ）＝Σ１／（ｎ＋ｍτ）^4

ここで和は反対の偶奇性をもつ整数ｎ，ｍ全体にわたってとるものとすると，

　　θ（τ）^8＝４８π^-4Ｅ4（τ）＝１＋１６Σｓ3（ｋ）ｑ^k

を示すことができる．

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［補］母関数

　ｎの約数の個数をｄ（ｎ），ｎの約数のｍ乗和をσm（ｎ）で表す．それぞれの母関数は

　　Σｄ（ｎ）ｚ^n＝Σｚ^n／（１−ｚ^n）

　　Σσm（ｎ）ｚ^n＝Σｎ^mｚ^n／（１−ｚ^n）

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