ボレリ・リュリエール「微積分の心に触れる旅」ｐ104について、計算してみると

円：.785398

ルーロー:.70477

正三角形:.57735

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ルーロー・プロペラ

三角部分を1

プロベラ部分をλとする

S1=(π-√3)/2

S2=πλ^2/6

S=S1+3S2=(π-√3)/2+πλ^2/2

L=1+λ

S/L^2の微分

πλ(1+λ)^2-{(π-√3)/2+πλ^2/2}2(1+λ)=0

πλ(1+λ)-{(π-√3)+πλ^2}=0

πλ=(π-√3)

λ=(π-√3)/π＝.448671のとき最小となる

S/L^2=.486494

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正三角形プロペラ　

三角部分の高さ1

プロベラ部分をλとする

S1=1/√3

S2=πλ^2/6

S=S1+3S2=1/√3+πλ^2/2

L=1+λ

S/L^2の微分

πλ(1+λ)^2-{1/√3+πλ^2/2}2(1+λ)=0

πλ(1+λ)-{2/√3+πλ^2}=0

πλ=2/√3

λ=2/√3/π=.367553のとき最小となる

S/L^2=.422178

ボレリ・リュリエールでは.41296となっている

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正三角形コンコイド

カニンガムの論文の場合

極座標ではｒ＝ａ／ｃｏｓθ＋ｂ

ｘ，ｙ座標で書けば，ｘ＝ａ＋ｂｃｏｓθ，ｙ＝ａｔａｎθ＋ｂｓｉｎθ

θ=0の場合、r=λ

θ=+/-π/6の場合r=1+λ-2/√3

a+b=λ

2a/√3+b=1+λ-2/√3

(1-2/√3)a=2/√3-1

a=-1,b=1+λ

極座標ではｒ＝-1/ｃｏｓθ＋1+λ

1/2・∫(-π/6,π/6)(-1/cosθ+1+λ)^2ｄθ

＝∫(0,π/6)(-1/cosθ+1+λ)^2ｄθ

∫(1/cosθ)ｄθ＝log|(tan(x/2+π/4)|

log|(tan(x/2+π/4)|=logtanπ/3-logtanπ/4＝log√3

∫(1/(cosθ)^ 2ｄθ＝tanx

tanx=1/√3

1/2・∫(-π/6,π/6)(-1/cosθ+1+λ)^2ｄθ

＝∫(0,π/6)(-1/cosθ+1+λ)^2ｄθ＝1/√3-2(1+λ)log√3+(1+λ)^2・π/6

3個の合計√3-6(1+λ)log√3+π(1+λ)^2/2

１辺が2/√3の正三角形の面積は

1/(√3)

S＝(√3)・4/3-6(1+λ)log√3+π(1+λ)^2/2

L=1+λ

S/L^2が最小となるのは

{-6log√3+π(1+λ)}(1+λ)^2-{(√3)・4/3-6(1+λ)log√3+π(1+λ)^2/2}2(1+λ)=0

{-6log√3+π(1+λ)}(1+λ)={(√3)・8/3-12(1+λ)log√3+π(1+λ)^2}

{-6(1+λ)log√3+π(1+λ)^2}={(√3)・8/3-12(1+λ)log√3+π(1+λ)^2}

{-6(1+λ)log√3}={(√3)・8/3-12(1+λ)log√3}

{6(1+λ)log√3}={(√3)・8/3}

λ={(√3)・8/3}/6/log√3-1

λ＝.401405

S/L^2＝.39489

放物線近似の場合.40475だから妥当と思われる

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正三角形コンコイド

もう一つの場合を考えてみたい。 1辺の長さ1の正三角形において針の長さが1のとき

θ=0の場合、r=1-√3/2

θ=+/-π/6の場合r=0

a+b=1-√3/2

2a/√3+b=0

(1-2/√3)a=1-√3/2

a=(1-√3/2)/(1-2/√3)=(2√3-3)/(2√3-4)=-√3/2、ｂ=1

r^2=a^2/(cost)^2+2ab/cost+b^2

∫(0,π/6)r^2dt=a^2/√3+2ablog√3+b^2π/6=√3/4-√3log√3+π/6

3個分で3√3/4-3√3log√3+π/2

正三角形の面積は√3/4

面積の合計√3-3√3log√3+π/2＝.448568　

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デルトイド

π/8＝.392699

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アステロイド型

.391406

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