【４】テータ関数の利用

　前節では平面楕円曲線の群構造を利用しましたが，この節ではヤコビの４つのテータ関数を利用して空間曲線：

　　ｘ^2＋ｍｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2＋ｎｙ^2＝ｗ^2

に直接群構造をいれてみることにします．以下，その解析的な証明の筋道だけを示します．

ａ）Θ（ｕ）＝（θ0(z)，1/√kθ1(z)，√k'/kθ2(z)，√k'θ3(z)）

　　　　　　＝（ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3）

　　ｋ＝（θ2(0)／θ3(0)）^2

　　ｋ’＝（θ0(0)／θ3(0)）^2

　　√ｋ’／ｋ＝θ0(0)／θ2(0)

と定義すると，テータ関数の加法公式より，

　　ｘ0^2−ｘ1^2＝ｘ2^2

　　ｘ0^2−ｋ^2ｘ1^2＝ｘ3^2

なる写像を得る

　さらに，Θ（ｕ）＝ｘ，Θ（ｕ’）＝ｙ，Θ（ｕ＋ｕ’）＝ｚとおくと

　　ｚ＝（ｘ0^2ｙ0^2−ｋ^2ｘ1^2ｙ1^2，ｘ0ｘ1ｙ2ｙ3＋ｘ2ｘ3ｙ0ｙ1，ｘ0ｘ2ｙ0ｙ2−ｘ1ｘ3ｙ1ｙ3，ｘ0ｘ3ｙ0ｙ3−ｋ^2ｘ1ｘ2ｙ1ｙ2）

ｂ）λ＝ｎ／ｍとおくと，ｋ^2（τ）＝λなるτが固定される．すなわち，ｍ，ｎを固定することはτをひとつ適当に固定することに相当し，群構造が確定する 　

　たとえば，ｍ＝５，ｎ＝−５とすると，前節でみたようにｘ＝（４１，１２，４９，３１）は空間曲線上の点であり，

　２ｘ＝（ｘ0^4＋２５ｘ1^4，２ｘ0ｘ1ｘ2ｘ3，ｘ0^2ｘ2^2＋５ｘ1^2ｘ2^2，ｘ0^2ｘ3^2−５ｘ1^2ｘ2^2）＝（３３４４１６１，１４９４６９６，４７２８００１，−１１３２７９）についても同様．

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