双曲線関数を使ってみたい．

　　ｘ＝√ｋ・ａｃｏｓｈθ，ｙ＝√ｋ・ｂｓｉｎｈθ

　　ｄｘ＝√ｋ・ａｓｉｎｈθｄθ，ｄｙ＝√ｋｂｃｏｓｈθｄθ

　　ｄｙ／ｄｘ＝ｂ／ａ・ｃｏｔｈθ

　接線の方程式は

　　ｙ−√ｋ・ｂｓｉｎｈθ＝ｂ／ａ・ｃｏｔｈθ・（ｘ−√ｋ・ａｃｏｓｈθ）

　　ａｙ−√ｋ・ａｂｓｉｎｈθ＝ｂｃｏｔｈθ（ｘ−√ｋ・ａｃｏｓｈθ）

　　（ｂｃｏｔｈθ）ｘ−（ａ）ｙ＝√ｋ・ａｂ（−ｓｉｎｈθ＋ｃｏｓｈ^2θ／ｓｉｎｈθ）

　　（ｂｃｏｓｈθ）ｘ−（ａｓｉｎｈθ）ｙ＝√ｋ・ａｂ

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　ｘ＝ａｃｏｓｈθ

　ｙ＝ｂｓｉｎｈθ

楕円と接線の交点を

　　（ａｃｏｓｈα，ｂｓｉｎｈα）

　　（ａｃｏｓｈβ，ｂｓｉｎｈβ）

とすると，

　　（ｂｃｏｓｈθ）ａｃｏｓｈα−（ａｓｉｎｈθ）ｂｓｉｎα＝√ｋ・ａｂ

　　ｃｏｓｈ（θ−α）＝√ｋ

　　ｃｏｓｈ（β−θ）＝√ｋ

　　θ−α＝ａｒｃｃｏｓｈ（√ｋ）

　　β−θ＝ａｒｃｃｏｓｈ（√ｋ）

　　β−α＝２ａｒｃｃｏｓｈ（√ｋ）

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　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝−∫ｙｄｘ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

　Ｓ＝１／２・∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）

の形にした方が対称性が保たれて計算しやすい．

　扇型の面積は

　Ｓ＝１／２・∫（ａｂｃｏｓｈ^2θ−ａｂｓｉｎｈ^2θ）ｄθ

　Ｓ＝ａｂ／２・∫［α，β］ｄθ＝ａｂ／２・（β−α）

＝ａｂ／２・２ａｒｃｃｏｓｈ√ｋ　　（一定）

　三角形の面積は

　１／２｜ａｃｏｓｈα，ｂｓｉｎｈα｜

　　　　｜ａｃｏｓｈβ，ｂｓｉｎｈβ｜

＝ａｂ／２・ｓｉｎｈ（β−α）

＝ａｂ／２・ｓｉｎｈ（２ａｒｃｃｏｓｈ√ｋ）　　（一定）

　したがって，（扇型−三角形）の面積は一定である．

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