無限に多くの曲線があって、各曲線ｆ（ｘ、ｙ、a）＝０で表されるとする。それらの包絡線は

ｘ＝φ(a), y=ψ(a)として、

　　ｆ（ｘ、ｙ、a）＝０,ｆa（ｘ、ｙ、a）＝０

の連立方程式の解として表される。

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　凹球面鏡に平行光線が入射するとき、反射光の包絡面（焦腺）は何か

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円の方程式をx=acosθ、y=asinθとすると、反射光の方程式は

　　y-asinθ=tan2θ(x-acosθ)

　　xsin2θ-ｙcos2θ=asinθ

包絡線を求めるにはまずθで偏微分して

xcos2θ+ｙsin2θ=a/2・cosθ

連立方程式を解くと、xについて

　　x=a/4・(3cosθ-cos3θ)

yについて、

　　y=a/4・(3sinθ-sin3θ)

これは半径a/2の円上を半径a/4の円が転がってできるネフロイドである。

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