鉛直な壁に鉛直に立てかけられた長さ１の棒が、上端が常に壁に接しながら倒れるときの棒の通過範囲は

アステロイドの第1象限をとなる。

その面積は3π/32であるから、1/4円の面積π/4の3/8である。

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　点(x,y)がｘ軸とｙ軸の両方に接する長さ1の線分の通過範囲にあることは

ｙ＝sinθ-ｘtanθ

を満たす0＜θ＜π/2の存在と同値である。

dy/dθ=cosθ-ｘ/cos^2θ=(cos^3θ-ｘ)/cosθ

dy/dθ=0,x=cos^3θを満たすθの値をαとおくと、dy/dθ≧0→θ≦α、ｙはθ＝αのとき極大かつ最大

ｙ＝sinα-ｘtanα=sinα(1-ｘ/cosα)=(1-cos^2α)^1/2(1-x/cosα)=(1-x^2/3)^1/2(1-x/x^1/3)=(1-x^2/3)^3/2=sin^3α

これより境界はx^2/3+y^2/3=1

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