［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝７ｃｍ，ｂ＝１０ｃｍ，ｃ＝１３ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．

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　１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

　この公式を知っていれば答は簡単である．

　　ａ^2＝４９，ａ^4＝２４０１

　　ｂ^2＝１００，ｂ^4＝１００００

　　ｃ^2＝１６９，ｃ^4＝２８５６１

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝３１８

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝４０９６２

　　３（４０９６２＋ｄ^4）＝（３１８＋ｄ^2）^2

　　３（４０９６２＋ｄ^4）＝（３１８＋ｄ^2）^2

　　１２２８８６＋３ｄ^4＝１０１１２４＋６３６ｄ^2＋ｄ^4

　　ｄ^4−３１８ｄ^2＋１０８８１＝０

　　ｄ^2＝１５９±√１４４００＝１５９±１２０＝２７９，３９

［Ａ］点Ｐは正三角形の中にあるから，ｄ＝√２７９

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【１】六斜術

　「六斜術」とは平面三角形ＡＢＣの６本の線分間の等式を意味する「和算用語」です．平面三角形ＡＢＣにおいて，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとおき，平面上の点Ｐに対してＰＡ＝ｄ，ＰＢ＝ｅ，ＰＣ＝ｆとするとき

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

が成立します．一見複雑ですが，左辺は相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

であり，右辺は４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和

　　ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

です．

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(a,b,c)=(x,x,x)

(d,e,f)=(7,10,13)

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）=49x^2(x^2+x^2+100+169-x^2-49)=49x^2(x^2+220)

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）=100x^2(x^2+118)

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）=169x^2(x^2-20)

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2=x^6+16900x^2+8281x^2+4900x^2

318x^4+19200x^2=x^6+30081x^2

x^6-318x^4+10881X^2=0

x^4-318x^2+10881=0

x^2=279を代入すると0になる

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