3辺の長さが(30,22,27)の三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれ(x,23,16)になっている．

このとき、ｘを求めよという問題であるが、もし、三角形が正三角形であるならば

「１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．」

ので、少しは計算が楽になるだろうが、一般の三角形であるため、六斜術が必要となる。

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【１】六斜術

　「六斜術」とは平面三角形ＡＢＣの６本の線分間の等式を意味する「和算用語」です．平面三角形ＡＢＣにおいて，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとおき，平面上の点Ｐに対してＰＡ＝ｄ，ＰＢ＝ｅ，ＰＣ＝ｆとするとき

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

が成立します．一見複雑ですが，左辺は相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

であり，右辺は４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和

　　ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

です．

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(a,b,c)=(30,22,27)

(d,e,f)=(x,23,16)

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）=900x^2(484+729+529+256-900-x^2)=900x^2(1098-x^2)

=988200x^2-900x^4

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）=256036(729+900+256+x^2-484-529)=256036(872+x^2)

=256036x^2+223263392

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）=186624(900+484+x^2+529-729-256)=186624(928+x^2)

=186624x^2+173187072

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2=317552400+121881600+123904x^2+385641x^2

=439434000+509545x^2

396450464+1430860x^2-900x^4=439434000+509545x^2

-42983536+921315x^2-900x^4=0

x=7を代入すると

-42983536+45144435-2160900=＝2160899-2160900=-1

xはほぼ整数：x=7.0000008になることがわかる。

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余弦定理よりcost=(a^2+b^2-c^2)/2ab

a=23,b=16,c=30を代入すると

cost=(529+256-900)/736＝-115/736

この三角形はアイゼンシュタイン三角形ではない。特に条件を付けずに、

平面上の４点で、どの２点間の距離も整数になるものを探しているうちに偶然見つかったものと思われる

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