ｎ芒星、m/n角形、m=(n-1)/2を描くために最初に用いた方法は

ポンスレーの定理から

大円R, 小円r, R=rsec(mπ/n)

であった。R=1とするとr=cos(mπ/n)

このとき小円の外接円の半径は

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)

で与えられる。

検してみたい・・・

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R=1のとき、ｒは直線y=sin(2mπ/n)/{cos(2mπ/n)-1}・(x-1)と原点(0,0)との距離で与えられる。

y=sin(2mπ/n)/{-2(sin(mπ/n)^2}・(x-1)

-tan(mπ/n)・y=(x-1)

r=1/{1+(tan(mπ/n))^2}^1/2=cos(mπ/n)

R=rsec(mπ/n)は正しいと思われる。

すると外接円の半径はcos(mπ/n)/cos(π/n)でよさそうである。

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これでよしと思ったのだが、得られたrはやや小さい値であった。

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n=5のときはよいのだが、n=7のときはさらに外側に７点ができる。

きちんと図を描いてみないとわからないが、この７点が求めたい点であった。

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)はNGで、面積については再考する必要がありそうである。

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結局、面積はrのみによって決まり、ｎ→∞では

S/L^2→rπ/(1+r)^2

したがって、

S/L^2<π/8→r(1+r)^2=1/8→r=1/6

S/L^2<π/12→r(1+r)^2=1/12→r=1/8とすればよいことがわかった。

しかし、パソコンが壊れたのでこれを確認できない

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数値計算は電卓でも可能ななで結果のみ示すと

r=1/6

n=3: 0.318123

n=5: 0.359868

n=7: 0.3719

n=9: 0.37692

n=11: 0.379476

n=13: 0.380951

n=21: 0.383251

n=41: 0.384308

n=61: 0.384515

n=81: 0.384588

n=101: 0.384623

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r=1/10

n=3: 0.214719

n=5: 0.242886

n=7: 0.251007

n=9: 0.254395

n=11: 0.25612

n=13: 0.257116

n=21: 0.258668

n=41: 0.259382

n=61: 0.259521

n=81: 0.25957

n=101: 0.259594

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r=1/108

n=3: 0.0236169

n=5: 0.0267152

n=7: 0.0276084

n=9: 0.0279811

n=11: 0.0281709

n=13: 0.0282804

n=21: 0.0284511

n=41: 0.0285296

n=61: 0.0285449

n=81: 0.0285504

n=101: 0.0285529

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