閉曲線で囲まれた図形の面積について，計算方法はいくつか考えられるのですが，（その１）では，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

として計算するのが最も簡単なようですと書きました．

　これはサイクロイドのときはうまくいくのですが，サイクロイドの場合，

　　Ｓ＝１／２∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝１／２∫（ｘ・ｄｙ／ｄθ−ｙ・ｄｘ／ｄθ）ｄθ

のほうが正解のようです．

　　Ｓ＝∫ｘｙ’ｄθ＝−∫ｙｘ’ｄθ

も正しいのですが，

　　Ｓ＝１／２∫（ｘ・ｙ’−ｙ・ｘ’）ｄθ

としたほうが，対称性が保たれて計算しやすいのです．

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【１】ハイポサイクロイドの面積

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

と記述されます．θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｓｉｎθ−（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｃｏｓθ−（ｎ−１）ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　Ｓ＝１／２∫（ｘｙ’−ｙｘ’）ｄθ

ｘｙ’−ｙｘ’＝（ｎ−１）^2（ｃｏｓθ）^2−（ｎ−１）（ｎ−２）ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）θ−（ｎ−１）（ｃｏｓ（ｎ−１）θ）^2＋（ｎ−１）^2（ｓｉｎθ）^2＋（ｎ−１）（ｎ−２）ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ−（ｎ−１）（ｓｉｎ（ｎ−１）θ）^2

＝（ｎ−１）^2−（ｎ−１）−（ｎ−１）（ｎ−２）ｃｏｓｎθ

Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）π

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【２】エピサイクロイドの面積

　外サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ

について調べてみたい．ｔで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ＋１）ｓｉｎｔ＋（ｎ＋１）ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

　　ｙ’＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−（ｎ＋１）ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

ｘｙ’−ｙｘ’＝（ｎ＋１）^2（ｃｏｓｔ）^2−（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｃｏｓｔｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ＋（ｎ＋１）（ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ）^2＋（ｎ＋１）^2（ｓｉｎｔ）^2−（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｓｉｎｔｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ＋（ｎ＋１）（ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ）^2

＝（ｎ＋１）^2＋（ｎ＋１）−（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｃｏｓｎθ

Ｓ＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）π

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