カージオイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できる曲線であり，また，内サイクロイドや外サイクロイドは，固定円の同心円で任意等分できますから，カージオイドは２通りの方法で任意等分可能ということになります．

　内サイクロイドや外サイクロイドは，尖点を中心とする円を使って任意等分できる曲線でしょうか？

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【１】サイクロイド

　固定した直線上を円が滑らずに転がるとき，回転円上の固定点のなす軌跡はサイクロイドと呼ばれ，回転円の半径をｒとすると

　　ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）

と書くことができます．サイクロイド弧が囲む面積は３πｒ^2（回転円の面積の３倍に等しい），弧長は８ｒ（回転円に外接する正方形の周に等しい）になります．

［１］面積

　　∫(0,2π)ｙｄｘ＝ｒ^2∫(0,2π)（１−ｃｏｓｔ）^2ｄｔ

　＝ｒ^2［ｔ−２ｓｉｎｔ＋ｔ／２＋ｓｉｎ２ｔ／４］＝３πｒ^2

［２］弧長

　　∫(0,2π)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,2π)（ｙ^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ

　＝√２ｒ∫（１−ｃｏｓｔ）^1/2ｄｔ＝２ｒ∫ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ

　＝２ｒ［−２ｃｏｓ（ｔ／２）］＝８ｒ

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【２】サイクロイド弧長のｎ等分

　　２ｒ（−２ｃｏｓ（ｔ／２）＋２）＝８ｒ／ｎ

　　−２ｃｏｓ（ｔ／２）＋２＝４／ｎ

　　ｃｏｓ（ｔ／２）＝１−２／ｎ

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2｛（ｔ−ｓｉｎｔ）^2＋（１−ｃｏｓｔ）^2｝

したがって，サイクロイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できない．

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【３】内サイクロイドと外サイクロイド

　　大円の半径：ｎ，小円の半径：１　　　（０＜ｔ＜２π／ｎ）

とする内サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ（ｎ−１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ−１）ｔ

と外サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ

について調べてみたい．

［１］内サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ−１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ−１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　（ｘ−ｎ）^2＋ｙ^2＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）ｃｏｓｎｔ−２ｎ（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−２ｎｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ＋ｎ^2

したがって，内サイクロイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できない．

［２］外サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ＋１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ＋１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　（ｘ−ｎ）^2＋ｙ^2＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）ｃｏｓｎｔ−２ｎ（ｎ＋１）ｃｏｓｔ＋２ｎｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ＋ｎ^2

　したがって，外サイクロイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できないが，ｎ＝１のとき，

　　ｃｏｓ（ｔ／２）＝１−２／ｍ

　　（ｘ−ｎ）^2＋ｙ^2＝６＋２ｃｏｓ２ｔ＝６＋２｛８（１−２／ｍ）^4−８（１−２／ｍ）^2＋１｝

となって，任意等分可能であることがわかる，

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