【１】任意等分可能曲線

［Ｑ］定木とコンパスで弧長が任意等分できる曲線は，直線とカージオイドの他にあるか？

について，一般解は難しいようですが，ルーレット曲線の仲間で、他にもいくつもありそうです．一例としてサイクロイドもそのようです．

　　ｘ＝θ−ｓｉｎθ，ｙ＝１−ｃｏｓθ

　　ｘ’＝１−ｃｏｓθ，Ｙ’＝ｓｉｎθ

　　（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2＝２ｓｉｎ（ｔ／２）

　　Ｌ（α）＝∫(0,α)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,α)ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］・・・全長はα＝２πを代入して８．

　有理数０＜ｎ／ｍ＜１をとると

　　Ｌ（α）＝８ｎ／ｍ

となるαは

　　８ｎ／ｍ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］

　　ｃｏｓ（α／２）＝１−２ｎ／ｍ

　このαは一般に定木とコンパスで作図できませんが，

　　ｃｏｓα＝２ｃｏｓ^2（α／２）＝２（１−２ｎ／ｍ）^2−１

　　ｙ＝１−ｃｏｓα＝２ｎ／ｍ（１−ｎ／ｍ）

は有理数であって作図可能です．

　すなわち，サイクロイド曲線そのものが正確に描かれていれば，ｍ等分するにはｎ＝１，２，・・・，［ｍ／２］について，この式で与えられるｙの値ａnを作図して直線ｙ＝ａnとの交点を求めればよいわけでです．これは定木とコンパスだけで任意のｍについて可能です．

　特例としてｍ＝３ならサイクロイドの高さ２に対して１６／９すなわち高さの比が８／９の位置の点をとればよいことになります．ｍ＝４なら中央の点と高さ２に対して３／２つまり高さの比が３／４の位置の点をとる（ｍ＝４のときはα＝２π／３，π，４π／３に相当する位置）などです．

　以上は一例であり，他にも内サイクロイドや外サイクロイド

　　ｘ＝ａｃｏｓθ−ｃｏｓ（ａ＋１）θ

　　ｙ＝ａｓｉｎθ−ｓｉｎ（ａ＋１）θ

　　ａは固定円の半径，回転円の半径１

など多数ありそうです．内サイクロイドや外サイクロイドは，固定円の同心円で任意等分できますから，カージオイドは２通りの方法で任意等分可能ということになります．

［１］任意等分可能・・・・・・直線，カージオイド，サイクロイド族

［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート

［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）

［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２），ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２）　　　（ｎ≧６）

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