【１】サイクロイド弧長のｎ等分

　　２ｒ（−２ｃｏｓ（ｔ／２）＋２）＝８ｒ／ｎ

　　−２ｃｏｓ（ｔ／２）＋２＝４／ｎ

　　ｃｏｓ（ｔ／２）＝１−２／ｎ

　　ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓｔ）＝ｒ（２−２ｃｏｓ^2（ｔ／２））＝２ｒ（１−（１−２／ｎ）^2）

［１］３等分する場合，

　　ｙ＝２ｒ・８／９，ｔ＝２ａｒｃｃｏｓ１／３

［２］４等分する場合，

　　ｙ＝２ｒ・３／４，ｔ＝２ａｒｃｃｏｓ１／２＝２π／３

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【２】内サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ−１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ−１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）ｃｏｓｎｔ＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）｛２ｃｏｓ^2（ｎｔ／２）−１｝＝（ｎ−１）^2＋１＋２（ｎ−１）（１−８／ｍ−８／ｍ^2）

［１］３等分する場合，

　　ｒ^2＝（ｎ−１）^2＋１−１４（ｎ−１）／９

　　ｔ＝２／ｎ・ａｒｃｃｏｓ１／３

［２］４等分する場合，

　　ｒ^2＝（ｎ−１）^2＋１−（ｎ−１）

　　ｔ＝２／ｎ・ａｒｃｃｏｓ１／２＝２π／３ｎ

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【３】外サイクロイド弧長のｍ等分

　　４（ｎ＋１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ＋１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）ｃｏｓｎｔ＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）｛２ｃｏｓ^2（ｎｔ／２）−１｝＝（ｎ＋１）^2＋１−２（ｎ＋１）（１−８／ｍ−８／ｍ^2）

［１］３等分する場合，

　　ｒ^2＝（ｎ＋１）^2＋１＋１４（ｎ＋１）／９

　　ｔ＝２／ｎ・ａｒｃｃｏｓ１／３

［２］４等分する場合，

　　ｒ^2＝（ｎ＋１）^2＋１＋（ｎ＋１）

　　ｔ＝２／ｎ・ａｒｃｃｏｓ１／２＝２π／３ｎ

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　ルーレット曲線のうち，エピサイクロイド

　　ｘ＝ａｃｏｓθ−ｃｏｓ（ａ＋１）θ

　　ｙ＝ａｓｉｎθ−ｓｉｎ（ａ＋１）θ

　　ａは固定円の半径，回転円の半径１

において，ａが正の整数ならばａ個の弧からなる閉曲線になります（ａ＝１がカージオイド，ａ＝２がネフロイド）．この曲線のθ＝０からθ＝αの弧長は　　４（ａ＋１）／ａ・（１−ｃｏｓ（ａα／２））

と表され，全長は８（ａ＋１）です．

　ａ＝２^kのときには，ｃｏｓ（２^kα）が決まれば，ｃｏｓα，ｓｉｎα（したがってｃｏｓ（ａ＋１）α，ｓｉｎ（ａ＋１）も）がそれから定規とコンパスで作図できるので，任意等分点が作図可能です．ａ＝３だとｃｏｓ（３α／２）からｃｏｓαを作図するには「角の三等分」が必要になり，定規とコンパスだけでは無理なようです．

　ただ，カージオイド以外にもいろいろ任意等分が可能な曲線があるように存じます．

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