［３］ｎ＝３

　　ｘ＝４ｃｏｓθ－ｃｏｓ４θ＝－８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ－１

　　ｙ＝４ｓｉｎθ－ｓｉｎ４θ＝－４ｓｉｎθ（２ｃｏｓ^3θ－ｃｏｓθ－１）

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝－８ｃｏｓ３θ＋１７＝－３２ｃｏｓ^3θ＋２４ｃｏｓθ＋１７

　　Ｄ3：ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝（－８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ－１）｛（－８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ－１）^2－４８（１－ｃｏｓ^2θ）（２ｃｏｓ^3θ－ｃｏｓθ－１）^2｝

あるいは

　　ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝ｘ（－３（ｘ^2＋ｙ^2）＋４ｘ^2）

　デルトイド，アステロイドのように

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^4＋ｂｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＋ｃ＝０

とうまい具合に表せるとは限らないので，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^4＋ａ（ｘ^2＋ｙ^2）^3＋ｂ（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋ｃ（ｘ^2＋ｙ^2）＋ｄｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＋ｅ＝０

と仮定します．

　　ｃｏｓθ＝１　→　ｘ^2＋ｙ^2＝９，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝２７

　　ｃｏｓθ＝－１　→　ｘ^2＋ｙ^2＝２５，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝－１２５

　　ｃｏｓθ＝０　→　ｘ^2＋ｙ^2＝１７，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝４７

　　ｃｏｓθ＝１／２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝２５，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝－１２５

　　ｃｏｓθ＝－１／２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝９，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝２７

　これで整数点，有理点が３つ得られました．どうしても整数点，有理点にこだわりたいならばｃｏｓθ＝１／３，１／４，・・・とおくか，

　　ｃｏｓθ＝（１－ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

と表せばよいのですが，非有理点でもかまわなければ，

　　ｃｏｓθ＝１／√２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝１７＋４√２，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝１－２６√２

　　ｃｏｓθ＝－１／√２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝１７－４√２，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2）＝１＋２６√２

を用いることもできます．

　（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2－３ｙ^2））＝（９，２７），（２５，－１２５），（１７，４７），（１７＋４√２，１－２６√２），（１７－４√２，１＋２６√２）を利用した未定係数法により

　　ａ＝－２０，ｂ＝－１０，ｃ＝－１８０，ｄ＝５１２，ｅ＝－３３７５

が求められました．未定係数法の計算は畏友・阪本ひろむ氏にお願いしました．すなわち，ｎ＝３は８次曲線：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^4－２０（ｘ^2＋ｙ^2）^3－１０（ｘ^2＋ｙ^2）^2－１８０（ｘ^2＋ｙ^2）＋５１２（ｘ^3－３ｘｙ^2）－３３７５＝０

となります．

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［４］ｎ＝４

　　ｘ＝５ｃｏｓθ－ｃｏｓ５θ＝－１６ｃｏｓ^5θ＋２０ｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝５ｓｉｎθ－ｓｉｎ５θ＝－１６ｓｉｎ^5＋２０ｓｉｎ^3θ

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝－１０ｃｏｓ４θ＋２６＝－８０ｃｏｓ^4θ＋８０ｃｏｓ^2θ＋１６＝８０ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋１６

　　Ｄ4：ｘ^2ｙ^2＝１６ｃｏｓ^6θ（４ｃｏｓ^2θ－５）^2・１６ｓｉｎ^6θ（４ｓｉｎ^2θ－５）^2＝１６^2ｃｏｓ^6θｓｉｎ^6θ（１６ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋５）^2

ｃｏｓθを消去すると，１０次式

　　（ｘ^2＋ｙ^2－１６）^3（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2－５００００ｘ^2ｙ^2＝０

が得られます．

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