（その３４）では，トロコイドｆ（ｘ，ｙ）＝０が代数曲線Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ）＝０になることを示しました．ｒ＝（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2はｘ，

ｙの多項式ではありませんが，ｒ^2とすれば多項式になります．ｒ^nｃｏｓｎφも同様です．

　そこで，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ＝（ｘ，ｙのｎ次の同次多項式）で，具体的に書くと

　　Ｄ1：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ）

　　Ｄ2：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2）

　　Ｄ3：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））

　　Ｄ4：Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2ｙ^2）

と表され，代数曲線であることがおわかりいただけるでしょう．

　したがって，トロコイド曲線の次数はｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφが何次の形で入っているかによって決定され，Ｄnの対称性をもつトロコイドの場合は最低でもｎ次になることがわかります．実際，ｘ^2＋ｙ^2はｃｏｓθのｎ次式，ｘ，ｘ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2），ｘ^2ｙ^2などはｃｏｓθの２ｎ次式となり，トロコイドは最低でも２ｎ次式になるのです．

　しかし，出現する項がわかっていたとしても代数曲線の方程式を書き下すことはそれほど簡単なことではありません．対称性だけでなく，曲線固有の性質が次数と関係してくるのですが，次数が高くなるとｃｏｓθを消去する一般的な方法が明らかなものではなくなってしまうからです．

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【１】ハイポサイクロイドの次数

　ｎ尖点ハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

において，

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２（ｎ−１）ｃｏｓｎθ＋（ｎ−１）^2＋１

とします．Ｄ0はｃｏｓθのｎ次式で表されることになります．

［１］ｎ＝２

　　ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝０

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２ｃｏｓ２θ＋２＝４ｃｏｓ^2θ

　　Ｄ2：ｘ^2＝４ｃｏｓ^2θ

よりｃｏｓθを消去すると，ｙ＝０

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