アステロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3＋１０８ｘ^2ｙ^2＝０

カージオイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−２ｘ）^2−４（ｘ^2＋ｙ^2）＝０

ネフロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3−１０８ｘ^2＝０

デルトイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2＋８ｘ（３ｙ^2−ｘ^2）−１０８＝０

などの方程式は，それぞれの代数曲線の対称性を表現していると考えられます．

　たとえば，カージオイドとデルトイドでは多項式にｘ項が含まれているため，ｙ軸に関して対称ではありません．今回のコラムでは２変数多項式の対称性について調べてみましょう．

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【５】トロコイドへの応用

　アステロイドはＤ4，カージオイドはＤ1，ネフロイドはＤ2，デルトイドはＤ3の対称性を有する代数曲線ですから，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒ^nｃｏｓｎφの多項式になります．

　ｒ^nｃｏｓｎφはそれぞれ，

　　ｘ^4−６ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−１０ｘ^2ｙ^2

　　ｘ

　　ｘ^2−ｙ^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）−２ｙ^2＝−（ｘ^2＋ｙ^2）＋２ｘ^2

　　ｘ^3−３ｘｙ^2＝ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）

よりＦ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2ｙ^2），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））で表されることがわかります．

　一般に，

　　ｘ＝ｒ1ｃｏｓω1ｔ＋ｒ2ｃｏｓω2ｔ

　　ｙ＝ｒ1ｓｉｎω1ｔ＋ｒ2ｓｉｎω2ｔ

は，ω2＝−ω1のとき楕円を描きますが，

　　ω1／ω2＝ｋ，ｒ2／ｒ1＝｜ｋ｜

という比をもつとき，ｋサイクロイドを描くことになります．

　ｋが無理数のときは代数的ではなく，半径がｒ1＋ｒ2，｜ｒ1−ｒ2｜の２つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします．ｋが有理数のときは周期的となり，サイクロイドは代数曲線であることが証明されます．

（証）この曲線は半径ｒ1の円と半径ｒ2の円の回転運動の組み合わせになるわけですが，前者の周期は２π／ω1，後者の周期は２π／ω2となりますから，後者が１回転したとき，前者はまだω1／ω2回転しかしていません．周期的となるためには両者が同時に整数Ｎ回転しなければなりません．

　このとき，サイクロイドはＤNの対称性をもつことになりますが，関数ｒ^NｃｏｓＮφはｘ，ｙのＮ次の同次多項式となることが帰納法で簡単に証明できるので，サイクロイドが多項式（代数曲線）になることは明らかです．

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