［２］エピサイクロイド

　一方，エピサイクロイドは地球から見たときの惑星の逆行運動の説明に用いられた曲線で，古代ギリシア人は，惑星の動きを表現するために周転円（円の周りをまわる円）を考えていたことが知られています．エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ＋１）θ

で与えられます．

　固定円と回転円の半径が等しい場合，エピサイクロイドは心臓型曲線（カーディオイド）を描きます．カーディオイドは，ｎ＝１として

　　ｘ＝２ｃｏｓθ−ｃｏｓ２θ・・・(1)

　　ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ・・・(2)

で与えられますが，ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１ですから

　　ｘ＝２ｃｏｓ^2θ−２ｃｏｓθ−１

これを解いて

　　ｃｏｓθ＝｛−１＋（３−２ｘ）^1/2｝／２

　また，(1)^2+(2)^2より

　　ｘ^2＋ｙ^2−５＝−４ｃｏｓθ

よりｃｏｓθを消去すると，直交座標系におけるカーディオイドの方程式は

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−３）^2−４（３−２ｘ）^3

＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−６（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ｘ−３＝０

と表されます．すなわち，４次曲線というわけです．

　ネフロイド（ｎ＝２）の場合は，

　　ｘ＝３ｃｏｓθ−ｃｏｓ３θ＝６ｃｏｓθ＋４ｃｏｓ^3θ・・・(1)

　　ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ・・・(2)

です．(2)よりｓｉｎ^2θ＝（ｙ／４）^2/3を(1)に代入してもよいのですが，ここでは(1)^2+(2)^2より

　　（ｘ^2＋ｙ^2−１０）／６＝−ｃｏｓ２θ＝２ｓｉｎ^2θ−１

に代入すると，６次曲線：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０

になることがわかります．

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