【２】代数曲線になる例

　回転円（半径ｒ）が固定円（半径Ｒ）に接して滑ることなく転がっていくとき，回転円の周上の点の軌跡を考えます．回転円が固定円に外接するとき，その軌跡をエピサイクロイド，内接するとき，ハイポサイクロイドと呼びます．

　Ｒ／ｒ比が無理数ならば，回転円上の１点ａが固定円上の１点ｂと接した後，円が永久に転がり続けたとしても，両者は再び接することはありませんが，有理数ならば有限回の回転の後再び接します．Ｒ＝ｎｒ（ｎは自然数）の場合，ちょうど１回転後に再び接することになります．

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［１］ハイポサイクロイド

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ・・・(1)

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ・・・(2)

において，ｘはｃｏｓθのｎ−１次式で表されます．

　ｎ＝２のとき，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ　　　−２≦ｘ≦２

すなわち，固定円の直径と一致します（コペルニクスの定理）．直径は２つの尖点をもっていて，その両端は退化した２つの尖点とみなすことができます．

　また，ｎ＝３，ｒ＝１とすると，デルトイドの媒介変数表示

　　ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ・・・(1)

　　ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ・・・(2)

で与えられますが，ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１ですから

　　ｘ＝２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１

これを解いて

　　ｃｏｓθ＝｛−１＋（２ｘ＋３）^1/2｝／２

　また，(1)^2+(2)^2より

　　ｘ^2＋ｙ^2＝５＋４ｃｏｓ３θ

　→（ｘ^2＋ｙ^2−５）／４＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

よりｃｏｓθを消去すると，直交座標系におけるデルトイドの方程式は

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋１２ｘ＋９＋ｙ^2）^2−４（２ｘ＋３）^3

＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）−８ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）−２７＝０

と表されます．すなわち，４次曲線というわけです．

　また，星形曲線アステロイドは固定円の半径が回転円の半径の４倍になっているハイポサイクロイドです．ｎ＝４，ｒ＝１とすると，アステロイドでは

　　ｘ＝３ｃｏｓθ＋ｃｏｓ３θ・・・(1)

　　ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ・・・(2)

ですが，３倍角の公式

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

を用いると

　　ｘ＝４ｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝４ｓｉｎ^3θ

より

　　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝４^2/3

を得ることができます．

　これは簡単な形ですが，整数ベキに直すために両辺を３乗

　　３ｘ^2/3ｙ^2/3（ｘ^2/3＋ｙ^2/3）＝４^2−ｘ^2−ｙ^2

　　３（４ｘｙ）^2/3＝４^2−ｘ^2−ｙ^2

さらに３乗すると，アステロイドは６次曲線：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４８（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４３２ｘ^2ｙ^2＋７６８（ｘ^2＋ｙ^2）−４０９６＝０

と表すことができることがわかります．

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