【補】伸開線と縮閉線

　円の伸開線，すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），

　　ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

と表され，歯車の歯形として工学に応用されています．また，放物線：ｙ＝ｘ2 の縮閉線は

　　ｙ＝１／２＋３（ｘ／４）2/3 です．

逆に，半立方放物線：ｙ2 ＝ａｘ3 の伸開線は放物線になります．

　サイクロイド：

　　ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），

　　ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）

の縮閉線は

　　ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），

　　ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）

です．ここで，θ＝π＋ｔとおけば

　　ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，

　　ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ

ですから，もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます．

　カテナリー（懸垂線）の伸開線はトラクトリックス（追跡線）と呼ばれています．

　　ｘ＝ａ（ｌｏｇｔａｎ（θ／２）＋ｃｏｓθ），

　　ｙ＝ａｓｉｎθ

追跡線上の点と，その点での接線がｘ軸と交わる点との距離ａは常に一定です．この性質が追跡線というこの曲線の名前の由来で，ある長さのひもの先に石を結びつけて引っ張りながらｘ軸上を歩くと，石の通る軌跡が追跡線になります．

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