固定した直線上を円が滑らずに転がるとき，回転円の周上の固定点のなす軌跡がサイクロイドです．自転車のタイヤを転がせばタイヤの上の１点はサイクロイドを描きます．

　サイクロイドは回転角を媒介変数として回転円の半径をａとすると

　　ｘ＝ａ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ａ（１−ｃｏｓθ）

と書くことができます．

　　ｄｘ／ｄθ＝ａ（１−ｃｏｓθ）＝ｙ，ｄｙ／ｄθ＝ａｓｉｎθ

　　ｄ^2ｘ／ｄθ^2＝ａｓｉｎθ，ｄ^2ｙ／ｄθ^2＝ａｃｏｓθ

　　ｄ^3ｘ／ｄθ^3＝ａｃｏｓθ，ｄ^3ｙ／ｄθ^3＝−ａｓｉｎθ

より，

　　ｄｙ／ｄｘ＝ｓｉｎθ／（１−ｃｏｓθ）

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝ｃｏｔθ

　　ｄ^3ｙ／ｄｘ^3＝−ｔａｎθ

　サイクロイドという名前は１５９９年ガリレオによって与えられたのですが，ガリレオはサイクロイドが囲む面積が回転円の面積のちょうど３倍になることを発見することはできませんでした．

　サイクロイドは重要な性質をもっていて

　［１］最速降下線

　［２］等時曲線

などいくつかの興味深い特性があります．最速降下線の問題は典型的な変分の問題です．

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