Ａ（１，０）とＢ（０，１）を結ぶ曲線のなかで距離が最も短い線は直線である．しかし，下に凸な曲線の方が早くＢに到達するであろう．

　カリレオは最速降下線は円弧であろうと想像した．しかし，最速降下線の正体はサイクロイドであることが判明したのである．

　　［参］岡本久「日常現象からの解析学」近代科学社

のよれば，点Ａで与えられる初速ｖ0，重力加速度をｇとすれば

　　Ｔ＝∫(0,1)｛（１＋ｆ'^2）／（η−ｆ）｝^1/2ｄｘ

　　η＝ｙ0＋ｖ0^2／２ｇ

で計算できるという．ｖ0＝０として計算してみると・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］直線ｙ＝−ｘ＋１の場合

　　Ｔ1＝２／√ｇ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］放物線ｘ＝（ｙ−１）^2の場合

　ｚ＝１−ｙとおくと，

　　｛（１＋ｆ'^2）／（η−ｆ）｝^1/2ｄｘ

＝｛（１＋４ｚ^2）／２ｇｚ｝^1/2ｄｚ

　　Ｔ2＝∫(0,1)｛（１＋４ｚ^2）／２ｇｚ｝^1/2ｄｚ〜１．８２９４４／√ｇ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］４分円（ｘ−１）^2＋（ｙ−１）^2＝１の場合

　　Ｔ3＝∫(0,1)ｚ^-1/2（１−ｚ^2）^-1/2ｄｚ／√２ｇ

＝１／２・Ｂ（１／４，１／２）／√２ｇ

＝１／２・Γ（１／４）Γ（１／２）／Γ（３／４）／√２ｇ

〜１．８５４０／√ｇ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［４］サイクロイドの場合

　　ｙ0−ｙ1＝ｒ（１−ｃｏｓｕ）

　　ｘ1−ｘ0＝ｒ（ｕ−ｓｉｎｕ）

　ｕ−１＋ｃｏｓｕ−ｓｉｎｕ＝０の根をｕ1とすると，

　　ｕ1〜２．４１２０１，ｒ〜０．６７１３２

　　θ＝［０，π］ではなく，θ＝［０，ｕ1］の範囲のサイクロイドではなく

　　Ｔ4＝ｕ1／√ｇ（１−ｃｏｓｕ1）〜１．８２３０９／√ｇ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［まとめ］

　　Ｔ4＜Ｔ2＜Ｔ3＜Ｔ1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝