閉曲線で囲まれた図形の面積について，計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

として計算するよりも

　　Ｓ＝１／２∫（ｘｄｙ−ｙｄｘ）＝１／２∫（ｘ・ｄｙ／ｄθ−ｙ・ｄｘ／ｄθ）ｄθ

のほうが正解のようです．

　　Ｓ＝∫ｘｙ’ｄθ＝−∫ｙｘ’ｄθ

も間違いではないのですが，

　　Ｓ＝１／２∫（ｘ・ｙ’−ｙ・ｘ’）ｄθ

としたほうが，対称性が保たれて計算しやすいのです．

［１］楕円の面積

　　ｘ＝ａｃｏｓｔ，ｙ＝ｂｓｉｎｔ　　

　　Ｓ＝１／２∫（ｘ・ｙ’−ｙ・ｘ’）ｄｔ

＝１／２∫（ａｃｏｓｔ・ｂｃｏｓｔ＋ｂｓｉｎｔ・ａｓｉｎｔ）ｄｔ

＝１／２∫（ａｂ）ｄｔ

＝πａｂ

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　また，曲線の長さや面積も求めてみましょう．

［２］サイクロイド

　　ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）

面積：∫(0,2π)ｙｄｘ＝ｒ^2∫(0,2π)（１−ｃｏｓｔ）^2ｄｔ

　＝ｒ^2［ｔ−２ｓｉｎｔ＋ｔ／２＋ｓｉｎ２ｔ／４］＝３πｒ^2

弧長：∫(0,2π)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,2π)（ｙ^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ

　＝√２ｒ∫（１−ｃｏｓｔ）^1/2ｄｔ＝２ｒ∫ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ

　＝２ｒ［−２ｃｏｓ（ｔ／２）］＝８ｒ

［３］カージオイド

　　ｘ＝ｃｏｓ２θ−２ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎ２θ−２ｓｉｎθ

面積：∫ｘｄｙ＝６π

弧長：∫(0,2π)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,2π)４ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ＝８∫(0,π)ｓｉｎｔｄｔ＝１６

［４］デルトイド

　　ｘ＝ｃｏｓ２θ＋２ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎ２θ−２ｓｉｎθ

面積：∫ｘｄｙ＝６π

弧長：∫(0,2π/3)１２ｓｉｎ（３ｔ／２）ｄｔ＝８∫(0,π)ｓｉｎｔｄｔ＝１６

［５］アステロイド

　　ｘ＝ｃｏｓ^3θ，ｙ＝ｓｉｎ^3θ

面積：１／２∫（ｘ・ｙ’−ｙ・ｘ’）ｄθ＝３／８∫(0,2π)１ｓｉｎ^2（３ｔ）ｄｔ＝３π／８

弧長：６∫(0,π/2)ｓｉｎ（２ｔ）ｄｔ＝３∫(0,π)ｓｉｎｔｄｔ＝６

　アステロイドでは

　　Ｓ＝∫ｘｙ’ｄθ＝−∫ｙｘ’ｄθ

は積分の計算が厄介です．

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