閉曲線で囲まれた図形の面積について，計算方法はいくつか考えられるのですが，（その１）では，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

として計算するのが最も簡単なようですと書きました．

　これはサイクロイドのときはうまくいくのですが，サイクロイドの場合，

　　Ｓ＝１／２∫（ｘｄｙ－ｙｄｘ）＝１／２∫（ｘ・ｄｙ／ｄθ－ｙ・ｄｘ／ｄθ）ｄθ

のほうが正解のようです．

　　Ｓ＝∫ｘｙ’ｄθ＝－∫ｙｘ’ｄθ

も正しいのですが，

　　Ｓ＝１／２∫（ｘ・ｙ’－ｙ・ｘ’）ｄθ

としたほうが，対称性が保たれて計算しやすいのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ハイポサイクロイドの面積

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ－１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ－１）θ

　　ｙ＝（ｎ－１）ｓｉｎθ－ｓｉｎ（ｎ－１）θ

と記述されます．θで微分すると

　　ｘ’＝－（ｎ－１）ｓｉｎθ－（ｎ－１）ｓｉｎ（ｎ－１）θ

　　ｙ’＝（ｎ－１）ｃｏｓθ－（ｎ－１）ｃｏｓ（ｎ－１）θ

　　Ｓ＝１／２∫（ｘｙ’－ｙｘ’）ｄθ

ｘｙ’－ｙｘ’＝（ｎ－１）^2（ｃｏｓθ）^2－（ｎ－１）（ｎ－２）ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ－１）θ－（ｎ－１）（ｃｏｓ（ｎ－１）θ）^2＋（ｎ－１）^2（ｓｉｎθ）^2＋（ｎ－１）（ｎ－２）ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ－１）θ－（ｎ－１）（ｓｉｎ（ｎ－１）θ）^2

＝（ｎ－１）^2－（ｎ－１）－（ｎ－１）（ｎ－２）ｃｏｓｎθ

Ｓ＝（ｎ－１）（ｎ－２）π

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】エピサイクロイドの面積

　外サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓｔ－ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎｔ－ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ

について調べてみたい．ｔで微分すると

　　ｘ’＝－（ｎ＋１）ｓｉｎｔ＋（ｎ＋１）ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

　　ｙ’＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ－（ｎ＋１）ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

ｘｙ’－ｙｘ’＝（ｎ＋１）^2（ｃｏｓｔ）^2－（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｃｏｓｔｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ＋（ｎ＋１）（ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ）^2＋（ｎ＋１）^2（ｓｉｎｔ）^2－（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｓｉｎｔｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ＋（ｎ＋１）（ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ）^2

＝（ｎ＋１）^2＋（ｎ＋１）－（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｃｏｓｎθ

Ｓ＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）π

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝