■サイクロイドと積分・変分法（その７）
【１】サイクロイド
固定した直線上を円が滑らずに転がるとき，回転円上の固定点のなす軌跡はサイクロイドと呼ばれ，回転円の半径をｒとすると
ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）
と書くことができます．この曲線は２変数多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０の形に表せませんから，代数曲線でありません．サイクロイドには
［１］最速降下線
［２］等時曲線
など，いくつかの興味深い特性があります．
また，サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）の縮閉線は
ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）
です．ここで，θ＝π＋ｔとおけば
ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ
ですから，もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます．（なお，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになる．）
サイクロイドはそもそもガリレイによって発見され，ホイヘンスによって振子時計の設計に使われ，そしてパスカルの積分法の研究にも貢献しています．サイクロイド弧が囲む面積は３πｒ^2（回転円の面積の３倍に等しい），弧長は８ｒ（回転円に外接する正方形の周に等しい）になります．
［１］面積
∫(0,2π)ｙｄｘ＝ｒ^2∫(0,2π)（１−ｃｏｓｔ）^2ｄｔ
＝ｒ^2［ｔ−２ｓｉｎｔ＋ｔ／２＋ｓｉｎ２ｔ／４］＝３πｒ^2
［２］弧長
∫(0,2π)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,2π)（ｙ^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ
＝√２ｒ∫（１−ｃｏｓｔ）^1/2ｄｔ＝２ｒ∫ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ
＝２ｒ［−２ｃｏｓ（ｔ／２）］＝８ｒ
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【２】ハイポサイクロイドの面積
ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは，パラメータθを用いて
ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ
ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ
と記述されます．θで微分すると
ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ
ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ
ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，
Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2
として計算すると
Ｓ＝（ｎ^2−２ｎ＋２）・πｒ^2
となって正しい値が得られません．
計算方法はいくつか考えられるのですが，
Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ
として計算するのが最も簡単なようです．その結果，ハイポサイクロイドの面積は
Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ
＝ｒ^2∫｛−（ｎ−１）^2（ｓｉｎθ）^2−（ｎ−１）（ｎ−２）ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ＋（ｎ−１）（ｓｉｎ（ｎ−１）θ）^2｝ｄｔ
＝（ｎ−１）（ｎ−２）・πｒ^2
より，
Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）・πｒ^2
で表されることが計算されます．定円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，
Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／ｎ^2・πＲ^2
となります．
デルトイドの場合はｎ＝３，Ｒ＝３ｒですから
Ｓ＝２πｒ^2
となって回転円の面積の２倍に等しくなります．また，ｎ→∞のとき
Ｓ→πＲ^2
となって定円の面積に近づきます．
∫(0,2π/n)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ
＝√２（ｎ−１）∫(0,2π/n)（１−ｃｏｓｎｔ）^1/2ｄｔ
＝２（ｎ−１）∫(0,2π/n)ｓｉｎ（ｎｔ／２）ｄｔ
＝４（ｎ−１）／ｎ［−ｃｏｓ（ｎｔ／２）］＝８（ｎ−１）／ｎ
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【２】エピサイクロイドの面積
外サイクロイド
ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ
ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ
について調べてみたい．ｔで微分すると
ｘ’＝−（ｎ＋１）ｓｉｎｔ＋（ｎ＋１）ｓｉｎ（ｎ＋１）θ
ｙ’＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−（ｎ＋１）ｃｏｓ（ｎ＋１）θ
Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ
＝∫｛−（ｎ＋１）^2（ｓｉｎｔ）^2＋（ｎ＋１）（ｎ＋２）ｓｉｎｔｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ−（ｎ＋１）（ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ）^2｝ｄｔ
＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）π
で表されることが計算されます．定円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，
Ｓ＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）／ｎ^2・πＲ^2
となります．
∫(0,2π/n)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ
＝√２（ｎ＋１）∫(0,2π/n)（１−ｃｏｓｎｔ）^1/2ｄｔ
＝２（ｎ＋１）∫(0,2π/n)ｓｉｎ（ｎｔ／２）ｄｔ
＝４（ｎ＋１）／ｎ［−ｃｏｓ（ｎｔ／２）］＝８（ｎ＋１）／ｎ
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