黄色の線で示したペリトロコイド

　　ｘ＝（Ｒ−ｒ）ｃｏｓθ＋Ｒｃｏｓ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

　　ｙ＝（Ｒ−ｒ）ｓｉｎθ−Ｒｓｉｎ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

では、長さ２Ｒの線分を１回転させることができる。(尖点が奇数の場合）

　そこで、掛谷の定数のような面積の極限値を求めてみたい。

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【１】２ｎ-１尖点ペリトロコイドの面積

　２ｎ-1個の尖点をもつペリトロコイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　θ（0、２ｎπ)

と記述されます．

θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると正しい値が得られません．

　計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

その結果，ペリトロコイドの面積は

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）・πｒ^2

で表されることが計算されます．回転円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／ｎ^2・πＲ^2

となります．

　ここで求めたい値はR＝1/2のときの面積ですから

　　Ｓ＝（ｎ−１）／4ｎ・π

デルトイドではR＝２ｒですから

　　Ｓ＝π/8

以下、R=3rではＳ＝π/6

R=4rではＳ＝3π/16・・・これは半アステロイドの面積に等しい

R＝5ｒではＳ＝π/５

また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→π/4

となります。

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n=3,7のとき、ペリトロコイドは大円の直径を含みますが、n=5,9のときはそれよりも大きい線分を含むことができます。

y=0となるθを求めると

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

（ｎ−１）ｓｉｎθ=ｎｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

ｓｉｎθ=ｎ/（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）/ｎ）θ

ｓｉｎθ=αｓｉｎθ/αを解く必要があるが、αは整数とならない。

そこで、ｔ＝θ/ｎと起きます。T=[0,2π]

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓnt＋ｎｃｏｓ（n-1)t

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎnt-ｎｓｉｎ(n-1)t

　n=2のとき,y=sin2t-2sint,x=cos2t+2cost

　n=3のとき,y=2sin3t-3sin2t,x=2cos3t+3cos2t

　n=4のとき,y=3sin4t-4sin3t,x=3cos4t+4cos3t

　n=5のとき,y=4sin5t-5sin4t,x=4cos5t+5cos4t

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間違いを訂正T=[0,2π]

[n=2]

2sintcost=2sint

cost=1

x=2(cost)^2-1+2cost

x=3・・・OKだがx=-1はどこへ行ったのだろうか？

sint=0, cost=-1を考えれば

x=-1・・・OK

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[n=3]

6sintcost=2(-4(sint)^3+3sint)

3cost=-4(sint)^2+3

3cost=-4(1-(cost)^2)+3=4(cost)^2-　1

cost=1,-1/4

x=2cos3t+3cos2t=8(cost)^3-6(cost)+6(cost)^2-3

cost=1のときx=5・・・OK

cost=-1/4のときx=-1/8+3/2+3/8-3=-5/4・・・OK

x=1はどこへ行ったのだろうか？

sint=0, cost=-1を考えれば

x=1・・・OK

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[n=4]

-24(sint)^3cost+12sintcost=-16(sint)^3+12sint

-24(sint)^2cost+12cost=-16(sint)^2+12

-6(sint)^2cost+3cost=-4(sint)^2+3

-6{1-(cost)^2}cost+3cost=-4{1-(cost)^2}+3

-6cost+6(cost)^3-3+3cost=-1+4(cost)^2

6(cost)^3-3cost=-1+4(cost)^2

6(cost)^3-4(cost)^2-3cost+1=0

6z^3-4z^2-3z+1=0

(z-1)(6z^2+2z-1)=0

z=1,(-1+/-√7)/6

x=3cos4t+4cos3t=24(cost)^4-24(cost)^2+3+16(cost)^3-12cost

cost=1のときx=7・・・OK

cost=(-1+/-√7)/6のとき

(-1+√7)^2=8-2√7＝2(4-√7)

(-1+√7)^3=-1+3√7-21+7√7=-22+10√7

(-1+√7)^4=4(23-8√7)

x=24・4(23-8√7)/6^4+16・(-22+10√7)/6^3-24・2(4-√7)/6^2-12(-1+√7)/6+3

x=2(23-8√7)/27+2・(-22+10√7)/27-36(4-√7)/27-2(-1+√7)+3

x=(-142+40√7)/27-2(-1+√7)+3=-0.26+1.37

(-1-√7)^2=8+2√7＝2(4+√7)

(-1-√7)^3=-1-3√7-21-7√7=-22-10√7

(-1-√7)^4=4(23+8√7)

x=24・4(23+8√7)/6^4+16・(-22-10√7)/6^3-24・2(4+√7)/6^2-12(-1-√7)/6+3

x=2(23-8√7)/27+2・(-22+10√7)/27-36(4-√7)/27-2(-1+√7)+3

x=(-142-40√7)/27-2(-1-√7)+3=-0.26-1.37

（1,-1に近い解)が存在するが

x=-1はどこへ行ったのだろうか？

sint=0, cost=-1を考えれば

x=-1・・・OK

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[n=4]

64(sint)^5-80(sint)^3+20sint=-40(sint)^3cost+20sintcost

16(sint)^5-20(sint)^3+5sint=-10(sint)^3cost+5sintcost

16(sint)^4-20(sint)^2+5=-10(sint)^2cost+5cost

16{1-(cost)^2}^2-20{1-(cost)^2}+5=-10{1-(cost)^2}cost+5cost

16-32(cost)^2+16(cost)^4-20+20(cost)^2+5=10cost-10(cost)^3+5cost

16(cost)^4-12(cost)^2+1=-10(cost)^3+15cost

16z^4+10z^3-12z^2-15z+1=0

(z-1)(16z^3+26z^2+14z-1)=0

z=1と（-1に近い解)が存在する

x=4cos5t+5cos4t=64(cost)^5-80(cost)^3+20cost+40(cost)^4-40(cost)^2+5

sint=0, cost=-1を考えれば

x=-64+80-20+40-40+5=1・・・OK

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