黄色の線で示したペリトロコイド

　　ｘ＝（Ｒ−ｒ）ｃｏｓθ＋Ｒｃｏｓ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

　　ｙ＝（Ｒ−ｒ）ｓｉｎθ−Ｒｓｉｎ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

では、長さ２Ｒの線分を１回転させることができる。(尖点が奇数の場合）

　そこで、掛谷の定数のような面積の極限値を求めてみたい。

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【１】２ｎ-１尖点ペリトロコイドの面積

　２ｎ-1個の尖点をもつペリトロコイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　θ（0、２ｎπ)

と記述されます．

θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると正しい値が得られません．

　計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

その結果，ペリトロコイドの面積は

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）・πｒ^2

で表されることが計算されます．回転円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／ｎ^2・πＲ^2

となります．

　ここで求めたい値はR＝1/2のときの面積ですから

　　Ｓ＝（ｎ−１）／4ｎ・π

デルトイドではR＝２ｒですから

　　Ｓ＝π/8

以下、R=3rではＳ＝π/6

R=4rではＳ＝3π/16・・・これは半アステロイドの面積に等しい

R＝5ｒではＳ＝π/５

また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→π/4

となります。

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n=3,7のとき、ペリトロコイドは大円の直径を含みますが、n=5,9のときはそれよりも大きい線分を含むことができます。

y=0となるθを求めると

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

（ｎ−１）ｓｉｎθ=ｎｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

ｓｉｎθ=ｎ/（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）/ｎ）θ

ｓｉｎθ=αｓｉｎθ/αを解く必要があるが、αは整数とならない。

そこで、ｔ＝θ/ｎと起きます。T=[0,2π]

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓnt＋ｎｃｏｓ（n-1)t

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎnt-ｎｓｉｎ(n-1)t

　n=2のとき,y=sin2t-2sint,x=cos2t+2cost

　n=3のとき,y=2sin3t-3sin2t,x=2cos3t+3cos2t

　n=4のとき,y=3sin4t-4sin3t,x=3cos4t+4cos3t

　n=5のとき,y=4sin5t-5sin4t,x=4cos5t+5cos4t

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[n=2]

2sintcost=2sint

cost=0,x=-1・・・OK

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[n=3]

6sintcost=2(-4(sint)^3+3sint)

3cost=-4(sint)^2+3

3cost=-4(1-(cost)^2)+3=4(cost)^2-1

cost=1,-1/4

x=2cos3t+3cos2t=8(cost)^3-6(cost)+6(cost)^2-3

cost=1のときx=5

cost=-1/4のときx=-1/8+3/2+3/8-3=-5/4

正規化のため2n-1=5で割ると1と-1/4・・・あわない

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[n=4]

-24(sint)^3cost+12sintcost=-16(sint)^3+12sint

-24(sint)^2cost+12cost=-16(sint)^2+12

8(sint)^2-12cost+12=0

-8(cost)^2-12cost+20=0

2(cost)^2+3cost-5=0

cost=1,-5/2

x=3cos4t+4cos3t=24(cost)^4-24(cost)^2+3+16(cost)^3-12cost

cost=1のときx=4

cost=-5/2のときx=24(cost)^2{(cost)^2-1}+12{(cost)^2-1}+4(cost)^2+3

24・25/4(25/4-1)+12・(25/4-1)+25+3

＝172(25/4-1)+28＝43・21+28＝931

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[n=4]

64(sint)^5-80(sint)^3+20sint=-40(sint)^3cost+20sintcost

16(sint)^5-20(sint)^3+5sint=-10(sint)^3cost+5sintcost

16(sint)^4-20(sint)^2+5=-10(sint)^2cost+5cost

16{1-(cost)^2}^2-20{1-(cost)^2}+5=-10{1-(cost)^2}cost+5cost

16-32(cost)^2+16(cost)^4-20+20(cost)^2+5=10cost-10(cost)^3+5cost

16(cost)^4-12(cost)^2+1=-10(cost)^3+15cost

16x^4+10x^3-12x^2-15x+1=0

(x-1)(16x^3+26x^2+14x-1)=0

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