黄色の線で示したペリトロコイド

　　ｘ＝（Ｒ−ｒ）ｃｏｓθ＋Ｒｃｏｓ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

　　ｙ＝（Ｒ−ｒ）ｓｉｎθ−Ｒｓｉｎ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

では、長さ２Ｒの線分を１回転させることができる。(尖点が奇数の場合）

　そこで、掛谷の定数のような面積の極限値を求めてみたい。

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【１】２ｎ-１尖点ペリトロコイドの面積

　２ｎ-1個の尖点をもつペリトロコイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　θ（0、２ｎπ)

と記述されます．

θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると正しい値が得られません．

　計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

その結果，ペリトロコイドの面積は

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）・πｒ^2

で表されることが計算されます．回転円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，

　　Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／ｎ^2・πＲ^2

となります．

　ここで求めたい値はR＝1/2のときの面積ですから

　　Ｓ＝（ｎ−１）／4ｎ・π

デルトイドではR＝２ｒですから

　　Ｓ＝π/8

以下、R=3rではＳ＝π/6

R=4rではＳ＝3π/16・・・これは半アステロイドの面積に等しい

R＝5ｒではＳ＝π/５

また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→π/4

となります。

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n=3,7のとき、ペリトロコイドは大円の直径を含みますが、n=5,9のときはそれよりも大きい線分を含むことができます。

y=0となるθを求めると

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

（ｎ−１）ｓｉｎθ=ｎｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

ｓｉｎθ=ｎ/（ｎ−１）ｓｉｎ（ｎ−１）/ｎ）θ

ｓｉｎθ=αｓｉｎθ/αを解く必要があるが、αは整数とならない。

そこで、dy/dx=∞となるためには、

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ＝0

ｓｉｎθ+ｓｉｎ（１−１/ｎ）θ＝0

2sin{t+t-t/n)/2}cos{(t/n)/2}=0

2sin{(1-1/2n)t}cos{t/2n}=0

0＜t＜2π

0＜t/2n＜π/n・・・t/2n=π/2、π/3,π/4、π/5、cos{t/2n}<>0・・・NG

0＜(1-1/2n)t＜(2n-1)π/n・・・3π/2、5π/3、7π/4、9π/5、・・・

(1-1/2n)t=π

t=2nπ/(2n-1)・・・4π/3、6π/5、8π/7、10π/9、・・・、で傾き無限大になる

このときのxを求める

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

n＝2のとき、ｘ＝ｃｏｓ4π/3+2cos2π/3＝-3

n＝3のとき、ｘ＝2ｃｏｓ6π/5+3cos2/3・6π/5＜0・・・図とあわない

式が間違っているのだろうか？

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　θ（0、２ｎπ)として

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｎｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（１−１/ｎ）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

（ｙｘ’-ｘｙ’）＝(n-1)-(n-1)cos(2-1/n)θ

(2-1/n)θ＝ｔ

(2-1/n)dθ＝dｔ

∫cos(2-1/n)θdθ＝1/(2-1/n)∫costdt=0

1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ)=n(n-1)π・r^2

R=nr=1/2

S=n(n-1)/4n^2

　　Ｓ＝（ｎ−１）／4ｎ・π

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0＜t＜2nπ

0＜t/2n＜π・・・t/2n=π/2、t=nπ・・・2π、3π、4π、5π・・・cos{t/2n}=0

0<(1-1/2n)t<(2n-1)π・・・3π、5π、7π、9π、・・・sin{(1-1/2n)t}=0

n=2のとき(1-1/2n)t=π、２πで傾き無限大になる.・・・t=4π/3,8π/3

このときのxを求める

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

n＝4π/3のとき、ｘ＝ｃｏｓ4π/3+2cos2π/3＝-3/2

n＝8π/3のとき、ｘ＝ｃｏｓ8π/3+2cos4π/3＝-3/2

n=3のとき(1-1/2n)t=π、２π、3π、4πで傾き無限大になる.・・・t=6π/5,12π/5、18π/5,24π/5

このときのxを求める

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｎｒｃｏｓ（１−１/ｎ）θ

n＝6π/5のとき、ｘ＝2ｃｏｓ6π/5+3cos2/3・6π/5＜0

n＝12π/5のとき、ｘ＝2ｃｏｓ12π/5+3cos2/3・12π/5＞0・・・ＯＫ

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