ｎ芒星、m/n角形、m=(n-1)/2を描くために最初に用いた方法は

ポンスレーの定理から

大円R, 小円r, R=rsec(mπ/n)

であった。R=1とするとr=cos(mπ/n)

このとき小円の外接円の半径は

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)

で与えられる。

検してみたい・・・

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R=1のとき、ｒは直線y=sin(2mπ/n)/{cos(2mπ/n)-1}・(x-1)と原点(0,0)との距離で与えられる。

y=sin(2mπ/n)/{-2(sin(mπ/n)^2}・(x-1)

-tan(mπ/n)・y=(x-1)

r=1/{1+(tan(mπ/n))^2}^1/2=cos(mπ/n)

R=rsec(mπ/n)は正しいと思われる。

すると外接円の半径はcos(mπ/n)/cos(π/n)でよさそうである。

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これでよしと思ったのだが、得られたrはやや小さい値であった。

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n=5のときはよいのだが、n=7のときはさらに外側に７点ができる。

きちんと図を描いてみないとわからないが、この７点が求めたい点であった。

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)はNGで、面積については再考する必要がありそうである。

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r=cos(mπ/n)/cos(π/n)とした場合の面積を求めてみたい。θ=π/n

正ｎ角形の面積はnr^2sinθcosθ

二等辺三角形の面積はnrsinθ(1-rcosθ),合計nrsinθ

棒の長さは1+ｒ

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.482408・・・五芒星より小さくなる。

n=9: 0.405224

n=11: 0.348588

n=13: 0.305633

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(rcosθ、rsinθ)と(1,0)を結ぶ直線y=rsinθ/(rcosθ-1)・(x-1)とy=tan(mθ)x=cot(θ/2)xの交点を求める

y=rsinθ/(rcosθ-1)(x-1)=cot(θ/2)x

rsinθ(x-1)=(rcosθ-1)cot(θ/2)x

{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}x=rsinθ

この点を(x0,y0)とする

x0=rsinθ/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}

この点を通る傾き-1/tanmθの直線は

y-y0=-tan(θ/2)(x-x0)

y=-tan(θ/2)(x-x0)+x0cot(θ/2)=-tan(θ/2)x+2x0/sinθ　

=-tan(θ/2)x+2r/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}

(rcosθ、-ｒsinθ)と(1,0)を結ぶ直線y=-rsinθ/(rcosθ-1)・(x-1) との交点は

-rsinθ/(rcosθ-1)・(x-1)=-tan(θ/2)x+2r/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}

-rsinθ・(x-1)=-(rcosθ-1)・tan(θ/2)x+(rcosθ-1)2r/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}

{(rcosθ-1)・tan(θ/2)-rsinθ}x=-rsinθ+(rcosθ-1)2r/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}

{(rcosθ-1)・tan(θ/2)-rsinθ}x={-rsinθ{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}+(rcosθ-1)2r}/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}

{(rcosθ-1)・tan(θ/2)-rsinθ}・{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}x={-rsinθ{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}+(rcosθ-1)2r}

{-(rcosθ-1)^2-(rsinθ)^2+rsinθ(rcosθ-1)・(tan(θ/2)+cot(θ/2))}x={-(rsinθ)^2+rsinθcot(θ/2)(rcosθ-1)+2r(rcosθ-1)}

{-(rcosθ-1)^2-(rsinθ)^2+2rsinθ(rcosθ-1)/sinθ}x={-(rsinθ)^2+rsinθcot(θ/2)(rcosθ-1)+2r(rcosθ-1)}

{-(rcosθ-1)^2-(rsinθ)^2+2r(rcosθ-1)}x={-(rsinθ)^2+rsinθcot(θ/2)(rcosθ-1)+2r(rcosθ-1)}

{-r^2+2rcosθ-1+r^2cosθ-2r}x={-(rsinθ)^2+rsinθcos(θ/2)/sin(θ/2)(rcosθ-1)+2r(rcosθ-1)}

sinθ/sin(θ/2)=2cos(θ/2)→2

(-1)x=2r(r-1)+2r(r-1)=4r(r-1)

x→4r(1-r)

y=-rsinθ/(rcosθ-1)・(x-1)

x0=rsinθ/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}

y0=cot(θ/2)・x0

ｒの関数としてあらわせるだろうか？

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)=sin(θ/2)/cosθ

rcosθ=sin(θ/2)

rsinθ=sin(θ/2)tanθは特殊値なので使わない

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x0=rsinθ/{rsinθ-cot(θ/2)(rcosθ-1)}→2rsin(θ/2)cos(θ/2)/{-cot(θ/2)(rcosθ-1)}→2r/(1-r)

y0=cot(θ/2)・x0→2rsin(θ/2)cos(θ/2)/{-(rcosθ-1)}→0

y→0

2{(x-x0)^2+(y-y0)^2}^1/2→2(x-x0)=2r{2(1-r)^2+1}/(1-r)=2r{2r^2-4r+3}/(1-r)

この挙動がわからない

しかしいずれにせよ面積は０に収束するので、反例になってしまいそうだ

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