θ=π/n、m=(n-1)/2として、掛谷定数の計算をリパラメトライズしておきたい。

ｎ芒星では三角おむすび状の図形がｎ個出現する。

原点からお結びの頂点までの距離をrとすると、おむすびの頂点は(x,y)=(rcosθ,rsinθ)

また、弧の半径をRとする。

(1,0),(cos2mθ,sin2mθ)で接線をひくとR=tan(mθ)=cot(θ/2)として,その中心は(1,R)となることがわかる

Rsinθ=2{cos(θ/2)}^2

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(x-1)^2+(y-R)^2=R^2とy=tanθ・xの交点が(rcosθ,rsinθ)であるから

ｒはr^2cosθ^2-2rcosθ+1+r^2sinθ^2-2Rrsinθ+R^2=R^2の解

r^2-2r(cosθ+Rsinθ)+1=0

r=cosθ+Rsinθ-{(cosθ+Rsinθ)^2-1}^1/2

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S1=1/2・(tanθ-θ)

S2=1/2・(1-rcosθ)・(R-tanθ)

S3=1/2・R^2arctan{(1-rcosθ)/(R-rsinθ)}

おむすびの面積は

S4=(S3-S1-S2)x2となる

S=π-ｎS4

L=1+r

S/L^2→?

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S1→1/2・(θ^3/3+・・・)→0

n・S1→ｎ/2・(θ^3/3+・・・)→0

S2→1/2・(1-r)・(R-tanθ))

n・S2→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・(n・tanθ)→n/2・(1-r)・R-1/2・(1-r)・π

n・tanθ→π

S3→1/2・R^2arctan{(1-r)/(R)・{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}

=1/2・R^2・{(1-r)/(R)・{{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}-1/3{(1-r)/(R)}^3{1+(rsinθ)/R+(rsinθ)^2/R^2+・・・}^3+・・・}

=1/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)(rsinθ)+1/2・(1-r)(rsinθ)^2/R・・・-1/6・(1-r)^3/R+・・・}

n・S3→n/2・(1-r)・R+n/2・(1-r)(rsinθ)-n/6(1-r)^3/R+・・・→n/2・(1-r)・R+1/2・(1-r)rπ-1/12・(1-r)^3π+・・・

n・sinθ→π

n/R→π/2

r→3-√8

n・(S3-S1-S2)→1/2・(1-r)(1+r)π-1/12・(1-r)^3π =1/12・(1-r){6(1+r)-(1-r)^2}=1/12・(1-r){5+8r-r^2}π

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2nS4=1/6・(1-r){5+8r-r^2}π→1/6・(-2+√8)(12-2√8)π

S=π-2nS4=1/6・(6-(-40+16√8)=1/6・(46-16√8)

S/L^2=S/(4-√8)^2=S/(24-8√8)=1/24・(5-2√2)

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