ｎ芒星、m/n角形、m=(n-1)/2を描くために最初に用いた方法は

ポンスレーの定理から

大円R, 小円r, R=rsec(mπ/n)

であった。R=1とするとr=cos(mπ/n)

このとき小円の外接円の半径は

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)

で与えられる。

検してみたい・・・

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R=1のとき、ｒは直線y=sin(2mπ/n)/{cos(2mπ/n)-1}・(x-1)と原点(0,0)との距離で与えられる。

y=sin(2mπ/n)/{-2(sin(mπ/n)^2}・(x-1)

-tan(mπ/n)・y=(x-1)

r=1/{1+(tan(mπ/n))^2}^1/2=cos(mπ/n)

R=rsec(mπ/n)は正しいと思われる。

すると外接円の半径はcos(mπ/n)/cos(π/n)でよさそうである。

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これでよしと思ったのだが、得られたrはやや小さい値であった。

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n=5のときはよいのだが、n=7のときはさらに外側に７点ができる。

きちんと図を描いてみないとわからないが、この７点が求めたい点であった。

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)はNGで、面積については再考する必要がありそうである。

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r=cos(mπ/n)/cos(π/n)とした場合の面積を求めてみたい。θ=π/n

正ｎ角形の面積はnr^2sinθcosθ

二等辺三角形の面積はnrsinθ(1-rcosθ),合計nrsinθ

棒の長さは1+ｒ

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.482408・・・五芒星より小さくなる。

n=9: 0.405224

n=11: 0.348588

n=13: 0.305633

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N芒星では

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.588735・・・五芒星より大きくなってしまう。

n=9: 0.588936

n=11: 0.588998

n=13: 0.589023

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r=|r|とする

nrsinθ/(1+r)^2の収束値を求めたい。

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)=cos((n-1)π/2n)/cos(π/n)=sin(-π/2n)/cos(π/n)→0

nsinθ→π

したがって→0・・・？　　おそらく回転できないのだろう

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.482408・・・五芒星より小さくなる。

n=9: 0.405224

n=11: 0.348588

n=13: 0.305633

n=21: 0.204468

n=41: 0.111815

n=61: 0.076946

n=81: 0.0586549

n=13: 0.0473907

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r=1/{2cos(2mπ/n)-1},r=abs(r)のときは c

os(2mπ/n)cos((n-1)π/n)=-cos(π/n),r→1/3

nsinθ→π

S/L^2→π/3/(4/3)^2=3π/16 ＝0.589048125

S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.588735・・・五芒星より大きくなってしまう。

n=9: 0.588936

n=11: 0.588998

n=13: 0.589023

n=5: 0.589044

n=7: 0.589048

n=9: 0.589048

n=11: 0.59048

n=13: 0.589048

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