十分大きなｎに対して、

[n^3,(n+1)^3]

には常に１個の素数が存在する。

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　１９４７年，ミルズはある定数Ａが存在し，すべてのｎに対して素数だけしか与えない公式

　　ｐn＝［Ａ^3^n］

を示した．

　　１．３０６３７７８８３８６３＜Ａ＜１．３０６３７７８８３８６９

　　ｐ1＝２，ｐ2＝１１，ｐ3＝１３６１，ｐ4＝２５２１００８８８７

　一方，ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数があるという１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した．今回のコラムではこれを使って，

　　［２^b］，［２^2^b］，［２^2^2^b］，・・・

がすべて素数となる定数ｂ〜１．２５が存在するという証明を紹介したい．

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【１】証明

　ｐ1＝２とし，ｐnを２^Pn-1より大きい最も小さい素数する．このとき，ベルトラン仮説より

　　２^Pn-1＜ｐn≦２^Pn-1+1

である．

　　ｂ＝ｌｏｇｌｏｇ・・・（ｐn）＝ｌｏｇ^n（ｐn）

とすればよい．ｎ→∞のとき，ｂ→１．２５１６４７５９７７９０５・・・であって，

　　ｐ1＝２，ｐ2＝５，ｐ3＝３７，ｐ4＝２^37＋９

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【２】おまけ

（Ｑ）２^n＋１が素数ならｎは２のベキ乗であることを示せ．

（Ａ）もしｎ＝ｑｍで，ｑが奇数ならば，

　　２^n＋１＝（２^m＋１）（２^n-m−２^n-2m＋・・・−２^m＋１）

となってしまう．

（Ｑ）ｎが素数でないとき，２^n−１は素数ではあり得ない．

（Ａ）もしｎ＝ｑｍで，

　　２^n−１＝（２^m−１）（２^m(q-1)＋２^m(q-2)＋・・・＋１）

となってしまう．しかし，ｎが素数で合ったとしても，２^n−１は素数であるとは限らない．

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