球を立方最密充填したとき，立方八面体の輪郭が現れます．立方八面体の外側を取り囲むように層を追加すれば，その表面にはいくつの球が並ぶのでしょうか？

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【１】フラーの定理

　各辺にｎ＋１個の合同な球を配置して，正四面体，正四角錐，正八面体，立方八面体，切頂四面体，切頂八面体を立方最密充填したとき，周辺の球の総数は，それぞれｂ＝２，３，４，１０，１４，３０として

　　ｂｎ^2＋２

となる．

　立方八面体の場合は

　　１０ｎ^2＋２

で与えられるというわけである．

　また，３次元空間の球充填では，中心の球を１２個の球が取り囲んでいる．したがって，立方八面体から中心の球を取り除くと正２０面体が構成される．ｎ＝２のジオデシックドームの頂点数はｖ＝４２，ｎ＝３のジオデシックドームの頂点数はｖ＝９２となることがわかる．

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