ｎ芒星、m/n角形、m=(n-1)/2を描くために最初に用いた方法は

ポンスレーの定理から

大円R, 小円r, R=rsec(mπ/n)

であった。R=1とするとr=cos(mπ/n)

このとき小円の外接円の半径は

r=cos(mπ/n)/cos(π/n)

で与えられる。

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これでよしと思ったのだが、得られたrはやや小さい値であった。

そこで、

P(cos(2mπ/n),sin(2mπ/n))

Q(cos(4mπ/n),sin(4mπ/n))

PQとx軸との交点を求めると

x=1/{2cos(2mπ/n)-1},r=abs(x)

n=5,m=2のとき両者は一致する。

これが求めたい値であった。

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y-sin(2mπ/n)={sin(4mπ/n)-sin(2mπ/n)}/{cos(4mπ/n)-cos(2mπ/n)}・(x-coscos(2mπ/n))

y=0とおいて、

-sin(2mπ/n)={2sin(2mπ/n)cos(2mπ/n)-sin(2mπ/n)}/{2(cos(2mπ/n))^2-cos(2mπ/n)-1}・(x-cos(2mπ/n))

-1={2cos(2mπ/n)-1}/{2(cos(2mπ/n))^2-cos(2mπ/n)-1}・(x-cos(2mπ/n))

-{2(cos(2mπ/n))^2-cos(2mπ/n)-1}={2cos(2mπ/n)-1}(x-cos(2mπ/n))

-{2(cos(2mπ/n))^2-cos(2mπ/n)-1}={2cos(2mπ/n)-1}x-2(cos(2mπ/n))^2+cos(2mπ/n)

1={2cos(2mπ/n)-1}x

x=1/{2cos(2mπ/n)-1}

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1辺の長さ1の正奇数ｎ角形を考えます。中心角の1/2をθ=π/nとする

　　xsinθ=1/2

高さはx+xcosθ=(1+cosθ)/2sinθ

面積n/2・xcosθ

底辺の長さ1の二等辺三角形は底角2π/n

高さhはh=1/2・tan2π/n

面積はh/2=1/4・tan2π/n

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棒の長さ：(1+cosθ)/2sinθ+1/2・tan2π/n

面積の総計：n/4/tanθ+ｎ/4・tan2π/n

ｎ→5,7,9,11,13,・・・

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S/L^2を計算すると

n=5: 0.587785・・・正三角形よりも大きくなってしまう

n=7: 0.73414・・・五芒星より大きくなってしまう。

n=9: 0.761569

n=11: 0.771424

n=13: 0.776126・・・この計算は正しいようである。

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