■ディオファントス近似とペル方程式(その24)
【3】最良近似の証明
(Q)分母が≦Qnなるすべての分数のうちで,実数αの近似分数δn=Pn/Qnはαを最もよく近似することを証明せよ.
(A)分数k/とm/nの差は≧1/lnであることに注意.δn<δn-1の場合のみ取り上げるが,a/bはδnに等しくなく,かつ,0<b≦Qnを満足する既約分数であるとする.
δn<a/b<δn-1
とはならないことを証明する.もしそうなっていたとすれば
a/b−δn≧1/bQn,δn-1−a/b≦1/bQn-1
したがって,δn-1−δn>1/QnQn-1となって,矛盾が生じる.
ゆえに,a/b<δnまたはδn-1≦a/bで,いずれにしてもδnのほうがa/bよりもαに近いことになる.
===================================