【３】フェルマー数と７

　Ｆn ＝２^(2^n)＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．

　　Ｆ0＝３，Ｆ1＝５，Ｆ2＝１７，Ｆ3＝２５７，Ｆ4＝６５５３７２５７

は素数であることがわかります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦn が合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5 の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです．現在，ｎ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．

　また，フェルマー数は簡単な漸化式Ｆn＝（Ｆn-1−１）^2＋１を満たしています．この式から

　　Ｆn−２＝Ｆn-1（Ｆn-1−１）＝・・・＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1

言い換えれば，Ｆn−２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．

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（Ｑ）Ｆ0＝３，Ｆ1＝５を除けば，フェルマー数Ｆnの末位の数は７であることを証明せよ．

（Ａ）ｎ≧２に関する数学的帰納法で

　　２^(2^n)＝６　　（ｍｏｄ１０）

を示せばよい．ｎ＝２のとき

　　２^(2^2)＝１６＝６　　（ｍｏｄ１０）

ｎ＝ｋのとき２^(2^k)＝６　　（ｍｏｄ１０）であるとすれば，ｎ＝ｋ＋１のとき，

　　２^(2^k+1)＝３６＝６　　（ｍｏｄ１０）

を得る．

　なお，

　　Ｆ1＝５

　　Ｆn＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1＋２＝（５の奇数倍）＋２

を用いれば，Ｆnの末位は７になることがわかる．

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